第10讲 重点回顾 · 练习

矩阵运算#

(a)

$AB = \begin{pmatrix} 1×4+3×2 & 1×1+3×(-1) \\ -2×4+0×2 & -2×1+0×(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -8 & -2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 4×1+1×(-2) & 4×3+1×0 \\ 2×1+(-1)×(-2) & 2×3+(-1)×0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

(b)

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$A^T B = \begin{pmatrix} 1×4+(-2)×2 & 1×1+(-2)×(-1) \\ 3×4+0×2 & 3×1+0×(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 12 & 3 \end{pmatrix}$

---

行列式计算#

利用分块矩阵性质：

$$\det \begin{pmatrix} P & Q \\ 0 & R \end{pmatrix} = \det(P) \cdot \det(R)$$

其中：

$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

计算：

$\det(P) = 2×3 - 0×1 = 6$

$\det(R) = 4×3 - 1×(-2) = 14$

∴ 原行列式 = $6 × 14 = 84$

---

逆矩阵#

步骤：

1. 计算行列式：

   $\det(C) = 2×4 - 1×3 = 5$

2. 求余因子矩阵：

   $\text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

3. 得逆矩阵：

   $C^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

---

矩阵的秩#

证明思路：

设 $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$ 中存在：

• $\text{rank}(A)$ 个线性无关的行向量来自左上块

• $\text{rank}(C)$ 个线性无关的行向量来自右下块 由于右下块的 $0$ 元素保证了这两部分向量的线性无关性，因此总秩至少为 $\text{rank}(A) + \text{rank}(C)$

---

特征值问题#

步骤：

1. 特征方程：

   $\det(\lambda I - D) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda=1,4$

2. 特征向量：

   • $\lambda=1$：解 $(I - D)\mathbf{x}=0$

     $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = k\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

   • $\lambda=4$：解 $(4I - D)\mathbf{x}=0$

     $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$