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数理基础线性代数（Linear Algebra） · 10讲4/10 · 配套练习模块导览 →
练习

第4讲 向量空间I（Vector Spaces I） · 练习

判断集合是否构成子空间，求齐次方程解集与矩阵列空间，并检查给定向量组的张成关系。

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本文目录 · 5 节

基础题#

  1. 判断以下集合是否为R3\mathbb{R}^3的子空间： (a) V1={(x,y,z) ∣ x+2y=3z}V_1 = \{ (x,y,z) \ | \ x + 2y = 3z \}

    (b) V2={(a,b,c) ∣ a≥0}V_2 = \{ (a,b,c) \ | \ a \geq 0 \}

    (c) V3={(s,t,u) ∣ s2+t2=u}V_3 = \{ (s,t,u) \ | \ s^2 + t^2 = u \}

  2. 将三维空间中过点(1,0,−1)(1,0,-1)和(3,2,1)(3,2,1)的直线表示为： (a) 隐式形式（联立两个平面方程）

    (b) 参数化形式

进阶题#

  1. 设矩阵A=(1201−13)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}，求： (a) 列空间 Col(A)\text{Col}(A)的显式表示

    (b) 证明Col(A)\text{Col}(A)是R3\mathbb{R}^3的真子空间

  2. 对向量集S={(1,2,3),(0,1,−1)}S = \{ (1,2,3), (0,1,-1) \}，证明：

    span(S)={(x,y,z) ∣ 5x−y−z=0}\text{span}(S) = \{ (x,y,z) \ | \ 5x - y - z = 0 \}

查看参考答案

基础题答案#

  1. (a) 是子空间（齐次方程解集）

    (b) 不是子空间（取v=(1,0,0)∈V2\mathbf{v}=(1,0,0)\in V_2，−v=(−1,0,0)∉V2-\mathbf{v}=(-1,0,0)\notin V_2）

    (c) 不是子空间（取u=(1,0,1),v=(0,1,1)∈V3\mathbf{u}=(1,0,1),\mathbf{v}=(0,1,1)\in V_3，u+v=(1,1,2)∉V3\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,2)\notin V_3）

  2. (a) 隐式形式：

{x−y=1y−z=1\begin{cases} x - y = 1 \\ y - z = 1 \end{cases}

(b) 参数化形式：

(1+2t, 0+2t, −1+2t), t∈R(1 + 2t,\ 0 + 2t,\ -1 + 2t),\ t \in \mathbb{R}

进阶题答案#

  1. (a) 列空间为：

    Col(A)={s(10−1)+t(213) ∣ s,t∈R}\text{Col}(A) = \left\{ s\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} \ \bigg| \ s,t\in\mathbb{R} \right\}

    (b) 因所有列向量满足5x−y−z=05x - y - z = 0，故Col(A)⊊R3\text{Col}(A) \subsetneq \mathbb{R}^3

  2. 证明步骤：

    • 验证SS中向量满足方程5x−y−z=05x - y - z = 0

    • 对任意(x,y,z)∈span(S)(x,y,z) \in \text{span}(S)，存在a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}使得：

{x=ay=2a+bz=3a−b\begin{cases} x = a \\ y = 2a + b \\ z = 3a - b \end{cases}

  • 代入验证5x−y−z=5a−(2a+b)−(3a−b)=05x - y - z = 5a - (2a+b) - (3a-b) = 0

  • 反向包含关系通过解方程组验证

完成练习后，自评一次

建议先独立作答，再展开参考答案进行核对。

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