第7讲 矩阵对角化（Diagonalization） · 练习

基础题答案#

1. 特征值与特征向量

   • 特征方程：

     $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -1 \\ -1 & \lambda-3 \end{pmatrix} = (\lambda-3)^2 - 1 = 0$ 解得 λ₁ = 4, λ₂ = 2。

   • 特征向量：

     • 对 λ₁ = 4，解方程 $(4I - A)x = 0$，得特征向量 $x₁ = (1, 1)^T$。

     • 对 λ₂ = 2，解方程 $(2I - A)x = 0$，得特征向量 $x₂ = (1, -1)^T$。

2. 对角化可能性

   • 矩阵 B 的特征值为 λ₁ = 2（代数重数 2）和 λ₂ = 3。

   • 对 λ₁ = 2，解方程$(2I - B)x = 0$，特征空间维数为 1（几何重数 < 代数重数）。

   • 结论：B 不可对角化。

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应用题答案#

1. 代数与几何重数

   • 代数重数：特征值 λ = 4 是三重根，代数重数为 3。

   • 几何重数：解方程 $(4I - C)x = 0$，系数矩阵秩为 2，特征空间维数 = 3 - 2 = 1。

   • 结论：代数重数 3 ≠ 几何重数 1。

2. Cayley-Hamilton 定理应用

   • 由定理得 $D³ - 2D² + 5D - 3I = 0$，即 $D³ = 2D² - 5D + 3I$。

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综合题答案#

1. 对角化证明

   • 特征方程：

     $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$

   • 特征向量：

     • 对 λ₁ = 1，特征向量 $x₁ = (1, 1)^T$。

     • 对 λ₂ = 2，特征向量 $x₂ = (1, 2)^T$。

   • 矩阵 P：

     $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \implies P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$