第3讲 矩阵II（Matrices II） · 练习

基础计算题#

1. 计算行列式

   计算以下矩阵的行列式：

   $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

2. 拉普拉斯展开

   使用拉普拉斯展开计算：

   $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

性质验证题#

1. 行列式的交替性

   设矩阵 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，交换其两行得到 $C'$，验证$\det(C') = -\det(C)$。

2. 可逆性判断

   判断矩阵 $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。

应用题#

1. 克拉默法则 用克拉默法则解方程组：

证明题#

1. 行列式乘法定理 设 $A$ 和 $B$ 为同阶可逆矩阵，证明 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$。

基础计算题答案#

1. 解：

   $\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$

2. 解：

   沿第二列展开（含零元素简化计算）：

   $\det(B) = 2 \cdot (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 0 \cdot (\cdots)$

   计算得：

   $\det(B) = -2(0 \cdot 6 - 5 \cdot 1) + 4(1 \cdot 6 - 3 \cdot 1) = -2(-5) + 4(3) = 10 + 12 = 22$

性质验证题答案#

1. 解：

   $\det(C) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5, \quad \det(C') = \det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = -5 = -\det(C)$

2. 解：

   计算 $\det(D) = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = -24 + 40 - 15 = 1 \neq 0$，故可逆。

   逆矩阵为（计算过程略）：

   $D^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

应用题答案#

1. 解： 系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$，$\det(A) = 2(-2) - 1 \cdot 3 = -7$。

证明题答案#

1. 证明： 由行列式乘法定理（见性质 2.2(b)），若 $A$ 和 $B$ 可逆，则：

   $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

2. 详细证明需利用莱布尼茨公式或公理化定义（如交替性、线性性等）。