第10讲 重点回顾

矩阵与基本运算#

矩阵定义（Matrix Definition）#

矩阵是矩形排列的数表，记作 $A = (a_{ij})_{m×n}$ 。当 $m=n=1$ 时，矩阵退化为标量。

符号说明： $R^{m×n}$ 表示所有 $m×n$ 实矩阵的集合
特殊矩阵：
- 零矩阵 $O_{m×n}$ ：所有元素为 0
- 单位矩阵 $I_n$ ：主对角线为 1，其余为 0

矩阵运算#

加法与标量乘法#

A + B = (a_{ij} + b_{ij}){m×n}, \quad \lambda A = (\lambda a{ij})_{m×n}

例：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ A+B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}, \quad 2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}

矩阵乘法#

C = AB \quad \text{其中} \quad c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

关键点：

仅当左矩阵列数 = 右矩阵行数时可乘
不满足交换律： $AB \neq BA$ 一般情况下

例：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1×5+2×7 & 1×6+2×8 \\ 3×5+4×7 & 3×6+4×8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}

行列式与逆矩阵#

行列式（Determinant）#

定义#

对 $n×n$ 矩阵 $A$ ，删去第 $i$ 行第 $j$ 列得子矩阵 $M_{ij}$ ，则：

\det(A) = \begin{cases} a_{11} & n=1 \\ \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}) & n \geq 2 \end{cases}

重要性质#

\det(AB) = \det(A)\det(B), \quad \det(A^T) = \det(A)

例（2×2矩阵）：

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

逆矩阵（Inverse Matrix）#

存在条件#

矩阵 $A$ 可逆 当且仅当 $\det(A) \neq 0$ ，此时：

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)

其中伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 由余因子矩阵转置得到

计算方法：

初等行变换法： $(A|I) \rightarrow (I|A^{-1})$
分块矩阵求逆（对对角分块矩阵特别有效）

例（2×2矩阵）：

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

矩阵的秩与向量空间#

秩（Rank）的定义#

矩阵 $A$ 的秩是其行空间或列空间的维度，记作 $\text{rank}(A)$

重要性质#

$\text{rank}(A) \leq \min\{m,n\}$
$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ （秩-零化度定理）
分块矩阵秩的性质：

\text{rank}\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \geq \text{rank}(A) + \text{rank}(C)

向量空间基础#

线性相关性#

向量组 $\{\mathbf{v}_1, ..., \mathbf{v}_k\}$ 线性无关当且仅当方程：

c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}

仅有零解 $c_1=...=c_k=0$

基底与维度#

基底需满足：

线性无关
张成整个空间

例：

$\mathbb{R}^3$ 的标准基底为 $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

特征值与对角化#

特征值（Eigenvalue）定义#

满足 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ 的标量 $\lambda$ 和非零向量 $\mathbf{x}$

特征方程#

\det(\lambda I - A) = 0

特征值的代数重数 ≥ 几何重数

例：

对矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ，特征方程为：

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda=1,3$

对角化条件#

矩阵 $A$ 可对角化当且仅当：

每个特征值的代数重数 = 几何重数
有 $n$ 个线性无关的特征向量

应用：

A = PDP^{-1} \Rightarrow A^k = PD^kP^{-1}

简化矩阵幂运算

学习建议#

从具体到抽象：先用 2×2 矩阵理解概念，再推广到高阶
可视化工具：使用矩阵计算器验证结果（如 Wolfram Alpha）
重点练习：
- 矩阵乘法与行列式计算
- 求逆矩阵的两种方法
- 特征值求解与对角化判断

例题精解：

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量

步骤：

解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$
对每个特征值求对应的特征空间基
验证特征向量线性无关性