第5讲向量空间II（Vector Spaces II） · 练习 · 量化课程

练习1：线性相关性判断#

判断以下向量集合是否线性无关：

设基 $B = \{ (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) \} \subset \mathbb{R}^3$ ，求向量 $\mathbf{v} = (2,3,4)$ 在基 B 下的坐标向量 $(\mathbf{v})_B$ 。

设 $V = \text{span}\{ (1,2,3), (1,0,1) \}$ 和 $W = \text{span}\{ (2,1,4), (0,1,2) \} \subset \mathbb{R}^3$ ，求 $\dim(V \cap W)$ 。

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ，向量 $\mathbf{u} = (1,1), \mathbf{v} = (2,0) \in \mathbb{R}^2$ 。

证明：若 $\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$ 线性无关，则 $\{ A\mathbf{u}, A\mathbf{v} \}$ 也线性无关。

判断以下命题的真假，并说明理由：

若 $\{ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \} \subset \mathbb{R}^4$ 线性无关，则 $\text{span}\{ \mathbf{u}, \mathbf{v} \}$ 是 $\mathbb{R}^4$ 的子空间。
任何 $\mathbb{R}^3$ 的二维子空间都可以由三个向量生成。

查看答案与解析

线性相关
- 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ ，行简化后第三行出现零行，秩为2 < 3。
线性无关
- 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，行列式 $\det(A) = -2 \neq 0$ 。

设 $(2,3,4) = c_1(1,1,0) + c_2(0,1,1) + c_3(1,0,1)$ ，解得方程组：

\begin{cases} c_1 + c_3 = 2 \\ c_1 + c_2 = 3 \\ c_2 + c_3 = 4 \end{cases}

解得 $c_1 = \frac{1}{2}, c_2 = \frac{5}{2}, c_3 = \frac{3}{2}$ ，故 $(\mathbf{v})_B = \left(\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$ 。

计算 V 和 W 的基：
- V 的基为 $\{ (1,2,3), (1,0,1) \}$ （已线性无关）
- W 的基为 $\{ (2,1,4), (0,1,2) \}$ （已线性无关）
联立方程求 $V \cap W$ 的公共解，得到 $V \cap W = \operatorname{span}\{(1,0,1)\}$ ，故 $\dim(V \cap W) = 1$ 。

\begin{cases} 3c_1 + 2c_2 = 0 \\ 7c_1 + 6c_2 = 0 \end{cases}

行列式 $\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} = 4 \neq 0$ ，仅有零解，故 $\{ A\mathbf{u}, A\mathbf{v} \}$ 线性无关。