第1讲 线性方程组和高斯消元法（Linear Systems and Gaussian Elimination） · 练习

习题 1 答案#

解：通过行变换得到 RREF：

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 7/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{pmatrix}$$

唯一解：$( x=2, y=7/2, z=1/2 )$

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习题 2 答案#

关键步骤：

1. 系数矩阵的行列式为 $2k^2+3k-24$。当 $k \neq \dfrac{-3\pm\sqrt{201}}{4}$ 时，方程组有唯一解

2. 当 $k = \dfrac{-3\pm\sqrt{201}}{4}$ 时：

   • 增广矩阵秩 > 系数矩阵秩 ⇒ 无解

   • 此时系数矩阵秩为 2，增广矩阵秩为 3

结论： (a) $( k \neq \dfrac{-3\pm\sqrt{201}}{4} )$ (b) $( k = \dfrac{-3\pm\sqrt{201}}{4} )$ (c) 不存在使系统有无穷解的情况

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习题 3 答案#

分析： (i) 对任意实数 $k$，法向量 $(2,-1,3)$ 与 $(4,k,-6)$ 都不共线，因此两平面相交于直线

(ii) 不存在使两平面平行不重合的 $k$

(iii) 不存在使两平面完全重合的 $k$

数值解：

• (i) 任意实数 $k$

• (ii) 无解

• (iii) 无解

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习题 4 答案#

建模： 设反应式为 $( aC_3H_8 + bO_2 \rightarrow cCO_2 + dH_2O )$ 得到方程组：

$$\begin{cases} 3a = c \quad (\text{碳平衡}) \\ 8a = 2d \quad (\text{氢平衡}) \\ 2b = 2c + d \quad (\text{氧平衡}) \end{cases}$$

解：令 ) a=1 ) 得 ) c=3, d=4, b=5 )，即：

$C_3H_8 + 5O_2 \rightarrow 3CO_2 + 4H_2O$

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习题 5 答案#

行变换过程：

1. $( R2 \leftarrow R2-2R1 )$

2. $( R3 \leftarrow R3+R1 )$

3. $( R3 \leftarrow R3-\frac{1}{2}R2 )$

最终 RREF：

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

解：$（ x = 3 + 2t ), ( y = t ), ( z = 2 )（( t ) 为任意参数）$