课程导览
线性代数/Linear Algebra
沿线性方程组、矩阵、向量空间与对角化展开课程，并以正交投影、线性变换和综合练习串联各主题。
阶段 2 · 数理基础 · 10讲
线性代数（Linear Algebra）
本模块要解决
- 掌握矩阵、向量空间、正交性与线性变换
- 理解特征值分解和对角化的条件与用途
研究纪律
- 矩阵运算必须核对维度、秩与条件数
- 降维结果必须解释经济含义而非只报告方差占比
前置准备
- 基础代数运算与方程组
本模块内容
10 个单元 · 10 组练习- 1第1讲 线性方程组和高斯消元法（Linear Systems and Gaussian Elimination）配套练习执行高斯消元并写出简化行阶梯形，讨论参数方程组的解数，再检查平面关系与化学配平建模。
- 2第2讲 矩阵I（Matrices I）配套练习计算矩阵乘积、转置与逆矩阵，验证幂零矩阵和对称矩阵性质，并用逆矩阵检查矩阵方程的解。
- 3第3讲 矩阵II（Matrices II）配套练习计算二阶与三阶行列式，验证换行引起的符号变化，并用行列式判断可逆性和求解线性方程组。
- 4第4讲 向量空间I（Vector Spaces I）配套练习判断集合是否构成子空间，求齐次方程解集与矩阵列空间，并检查给定向量组的张成关系。
- 5第5讲 向量空间II（Vector Spaces II）配套练习判断向量组的线性相关性，计算给定基下的坐标和子空间交维数，并检验线性变换后的无关性。
- 6第6讲 向量空间关联矩阵（Vector Spaces associated Matrices）配套练习判定候选向量组是否为基，计算两组基的过渡矩阵，并检查参数矩阵的秩、零空间与秩不等式。
- 7第7讲 矩阵对角化（Diagonalization）配套练习计算特征值和特征向量，比较代数与几何重数以判断可对角化性，并用凯莱定理化简矩阵幂。
- 8第8讲 正交矩阵（Orthogonal Matrices）配套练习执行 Gram-Schmidt 正交化与向量投影，求超定系统的最小二乘解，并验证矩阵的正交条件。
- 9第9讲 正交和线性变换（Orthogonality and Linear Transformations）配套练习计算旋转坐标系的过渡矩阵，构造线性变换标准矩阵，并检查正交性、秩零度与复合次序。
- 10第10讲 重点回顾配套练习计算矩阵乘积与分块行列式，用伴随矩阵求逆，并证明秩不等式、求取特征值及对应特征向量。
学完之后应该能够
- 能够阅读回归、协方差、PCA与组合优化表达
- 能够识别高维模型中的秩、共线性和数值稳定问题