第3讲 矩阵II（Matrices II）

一、行列式的三种定义#

定义：设 $A = (a_{ij})$ 为 $n \times n$ 矩阵， $M_{ij}$ 表示删除第 $i$ 行第 $j$ 列后的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵。

余因子 (Cofactor)：

A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij})

行列式定义：

\det(A) = \begin{cases} a_{11} & \text{若 } n=1 \\ \sum_{j=1}^n a_{1j} A_{1j} & \text{若 } n \geq 2 \end{cases}

例：计算 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的行列式：

$\det(A) = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det(4) - 1 \cdot (-1)^{1+2} \det(3) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5$

排列与符号 (Permutations and Signatures)

行列式定义：

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}

例： $n=2$ 时，所有排列为 $\sigma_1 = (1,2)$ （偶排列，符号+1）和 $\sigma_2 = (2,1)$ （奇排列，符号-1）：

\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

设 $D: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}$ 满足：

定理：满足上述条件的函数唯一存在，即为行列式。

$\det(A) = \det(A^T)$
若矩阵有两行相同，则 $\det(A) = 0$
行操作（倍乘、交换、倍加）对行列式的影响：
- 行倍乘： $\det(B) = k \det(A)$
- 行交换： $\det(B) = -\det(A)$
- 行倍加： $\det(B) = \det(A)$

例：判断 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 是否可逆：

$\det(A) = -2 \neq 0 \implies$ 可逆。

定义：设 $A_{ij}$ 为余因子，伴随矩阵为：

\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

关键公式： $A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) I_n$

逆矩阵表达式：若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$

对线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ，若 $A$ 可逆，则解为：

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\mathbf{b}$ 后的矩阵。

例：解方程组 $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$

计算 $A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ ，得 $x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{14}{5}$ 。

查看四、习题与解答（Exercises and Solutions）

习题：证明若 $A$ 可逆，则 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

解答：

由 $A A^{-1} = I$ ，两边取行列式得：

$\det(A) \det(A^{-1}) = \det(I) = 1 \implies \det(A^{-1}) = 1/\det(A)$