第8讲 正交矩阵（Orthogonal Matrices） · 练习

题目1#

• 正交性验证：

  $u \cdot v = 1\cdot4 + (-2)\cdot5 + 3\cdot2 = 4 -10 +6 = 0 \quad \text{（正交）}$

• 范数计算：

  $\|u\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 +3^2} = \sqrt{14}$

  $\|v\| = \sqrt{4^2 +5^2 +2^2} = \sqrt{45}$

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题目2#

正交化过程：

1. $v_1 = u_1 = (1,1,1)$

2. $v_2 = u_2 - \frac{u_2 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 = (0,1,1) - \frac{2}{3}(1,1,1) = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

3. $v_3 = u_3 - \frac{u_3 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 - \frac{u_3 \cdot v_2}{\|v_2\|^2}v_2 = (0,0,1) - \frac{1}{3}(1,1,1) - \frac{1/3}{2/3}(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = (0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

正交基：

$\left\{ (1,1,1),\ \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),\ (0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \right\}$

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题目3#

1. 验证基的正交性：

   $v_1 \cdot v_2 = 1\cdot1 +1\cdot(-1) +1\cdot0 = 0 \quad \text{（正交）}$

2. 投影计算：

$$p = \frac{w \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 + \frac{w \cdot v_2}{\|v_2\|^2}v_2 = \frac{11}{3}(1,1,1) - (1,-1,0) = \left(\frac{8}{3}, \frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$$

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题目4#

构造矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\ b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

，解法方程：

$$A^TA = \begin{pmatrix} 14 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

,

$$\quad A^Tb = \begin{pmatrix} 19 \\ 6 \end{pmatrix}$$

解得 $x = \frac{39}{38},\ y = \frac{25}{19}$。

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题目5#

计算 $Q^TQ$：

$$Q^TQ = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = I$$

结论：是正交矩阵。

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题目6#

由正交矩阵条件 $A^TA = I$：

1. 第1列单位化：$a^2 + b^2 = 1$

2. 第2列单位化：$0^2 + c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm1$

3. 列正交性：$a\cdot0 + b\cdot c = 0 \Rightarrow b = 0$。解得：$a = \pm1,\ b = 0,\ c = \pm1$，其中 $a,c$ 的符号可独立选择。

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题目7#

设直线方程为 $y = kx + b$，构造设计矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$$

解法方程$A^TA\begin{pmatrix} b \\ k \end{pmatrix} = A^Tb$，解得 $k = 1.5,\ b = \frac{1}{3}$，最佳拟合直线为 $y = 1.5x + \frac{1}{3}$。