第2讲 矩阵I（Matrices I） · 练习

基础题答案#

1. 矩阵乘法验证

$$AB = \begin{pmatrix} 1×5+2×7 & 1×6+2×8 \\ 3×5+4×7 & 3×6+4×8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} 5×1+6×3 & 5×2+6×4 \\ 7×1+8×3 & 7×2+8×4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

2. 逆矩阵计算

   通过行变换 $[C|I] \rightarrow [I|C^{-1}]$：

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$$

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 对称矩阵证明

   (A - B)^T = A^T - B^T = A - B \quad \text{（因A,B对称）}

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进阶题答案#

1. 幂零矩阵应用

   计算 $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

   逆矩阵计算：

   $(I - N)^{-1} = I + N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 特殊矩阵构造

   例子：

   $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   验证：

   $A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$

3. 矩阵方程求解

   先求 $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

   解为：

   $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 4.5 & 6 \end{pmatrix}$