第7讲 矩阵对角化（Diagonalization）

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特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）#

基本定义#

设 A 为 n 阶方阵，若存在非零向量 x ∈ ℝⁿ 和标量 λ ∈ ℝ，使得：

则称 λ 为 A 的特征值（eigenvalue），x 为对应的特征向量（eigenvector）。

特征方程（Characteristic Equation）#

特征值满足方程：

其中 I 为单位矩阵。多项式 $φ(λ) = det(λI - A)$ 称为特征多项式（characteristic polynomial）。

推导过程：

从定义式$Ax = λx$ 出发，改写为$(λI - A)x = 0$。由于非零解存在，系数矩阵的行列式必须为零。

例子：

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征方程为：

$\det\left( \lambda I - A \right) = \det\begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = 0$

解得特征值$λ₁ = 3, λ₂ = 1$。

代数重数与几何重数（Algebraic and Geometric Multiplicity）#

代数重数#

特征值 λ 的代数重数（algebraic multiplicity）是其作为特征多项式根的重数。

几何重数#

几何重数（geometric multiplicity）是特征值 λ 对应的特征空间 $E_λ = \{ x \mid (\lambda I - A)x = 0 \}$的维数。

重要性质：

1. 代数重数 ≥ 几何重数 ≥ 1

2. 若代数重数等于几何重数，则称特征值为半单的（semisimple）。

例子：

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值为 λ = 2（代数重数 2）。

求解 $(2I - A)x = 0$ 得特征空间维数为 1，几何重数为 1。此时代数重数 ≠ 几何重数。

矩阵对角化条件#

可对角化的定义#

若存在可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP 为对角矩阵，则称 A 可对角化（diagonalizable）。

判定条件#

1. 充要条件：A 有 n 个线性无关的特征向量。

2. 充分条件：若 A 有 n 个互异特征值，则一定可对角化。

3. 关键条件：对每个特征值，代数重数等于几何重数。

步骤：

1. 分解特征多项式为 $\phi_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{r_k}$

2. 验证每个$λ_i$的几何重数是否等于 $r_i$。

例子：

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 8 \end{pmatrix}$的特征多项式为$φ(λ) = (λ-2)²(λ-9)$。

• 对 λ=2，求解 $(2I - A)x = 0$ 得两个线性无关特征向量，几何重数为 2，等于代数重数。

• 对 λ=9，几何重数为 1。因此 A 可对角化。

Cayley-Hamilton 定理#

若 φ(λ) 是 A 的特征多项式，则：

$\phi(A) = 0$

应用：可用此定理简化矩阵幂的计算。

例子：

若 A² - 5A + 6I = 0，则 A² = 5A - 6I，可递推计算 Aⁿ。

学习建议#

1. 优先掌握：特征值/向量的计算、代数与几何重数的关系。

2. 推荐练习：

   • 验证矩阵 $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ 的可对角化条件（答案：当 a ≠ b 时可对角化）。

   • 证明：若 AB = BA，且 A、B 均可对角化，则存在公共特征向量基。

3. 注意误区：可对角化矩阵不一定有互异特征值（如单位矩阵）。