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数理基础线性代数（Linear Algebra） · 10讲4/10模块导览 →
讲义

第4讲 向量空间I（Vector Spaces I）

定义欧几里得空间、子空间与线性张成，给出封闭性判定方法，并联系矩阵列空间和特征空间。

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本文目录 · 12 节

一、基本概念#

1.1 n维向量与欧几里得空间#

n维向量（n-vector）定义为：

u=(u1,u2,...,un), ui∈R\mathbf{u} = (u_1, u_2,...,u_n),\ u_i \in \mathbb{R}

所有n维实向量构成的集合称为欧几里得n维空间（Euclidean n-space），记作：

Rn={(u1,...,un) ∣ ui∈R}\mathbb{R}^n = \{ (u_1,...,u_n) \ | \ u_i \in \mathbb{R} \}

1.2 集合表示方法#

对于Rn\mathbb{R}^n的子集，有两种表示方式：

隐式表示（Implicit form）：

{(x1,...,xn) ∣ a1x1+⋯+anxn=b}\{ (x_1,...,x_n) \ | \ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = b \}

显式表示（Explicit form）：

{p+t1v1+⋯+tkvk ∣ ti∈R}\{ \mathbf{p} + t_1\mathbf{v}_1 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k \ | \ t_i \in \mathbb{R} \}

示例1（三维空间平面）：

  • 隐式：ax+by+cz=dax + by + cz = d

  • 显式：(d−s−ta,s,t), s,t∈R\left( \frac{d - s - t}{a}, s, t \right),\ s,t \in \mathbb{R}

二、子空间（Subspace）#

2.1 核心定义#

子空间V⊂RnV \subset \mathbb{R}^n必须满足：

  1. 零向量存在性：0∈V\mathbf{0} \in V

  2. 封闭性：

    • 加法封闭：∀u,v∈V, u+v∈V\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V,\ \mathbf{u}+\mathbf{v} \in V

    • 标量乘法封闭：∀c∈R, u∈V, cu∈V\forall c \in \mathbb{R},\ \mathbf{u} \in V,\ c\mathbf{u} \in V

2.2 生成子空间（Linear Span）#

对于向量集S={u1,...,uk}S = \{\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_k\}，其生成子空间定义为：

span(S)={c1u1+⋯+ckuk ∣ ci∈R}\text{span}(S) = \{ c_1\mathbf{u}_1 + \cdots + c_k\mathbf{u}_k \ | \ c_i \in \mathbb{R} \}

任何齐次线性方程组的解集都是子空间。

三、子空间判定方法#

3.1 三大判定法#

  1. 生成集法：找到生成集合SS使得V=span(S)V = \text{span}(S)

  2. 公理验证法：直接验证零向量存在性与封闭性

  3. 方程组法：证明VV是某个齐次线性方程组的解集

示例2（练习3.7）： 判断 W={(w,x,y,z) ∣ wx=yz}W = \{ (w,x,y,z) \ | \ wx = yz \}是否为子空间

解答： 取 u=(1,0,0,1)\mathbf{u}=(1,0,0,1)和v=(0,1,0,1)\mathbf{v}=(0,1,0,1)，虽然u,v∈W\mathbf{u},\mathbf{v} \in W，但：

u+v=(1,1,0,2)⇒1×1≠0×2\mathbf{u}+\mathbf{v} = (1,1,0,2) \Rightarrow 1×1 \neq 0×2 故 WW不满足加法封闭性，不是子空间。

重要应用实例#

矩阵列空间#

设AA为m×nm×n矩阵，列空间（Column Space）定义为：

Col(A)={Au ∣ u∈Rn}\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{u} \ | \ \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \}

定理：

  • Col(A)\text{Col}(A)是Rm\mathbb{R}^m的子空间

  • 列空间等于矩阵列向量的生成空间

特征空间#

对于矩阵AA，满足Au=uA\mathbf{u} = \mathbf{u}的向量构成：

V={u∈Rn ∣ (A−I)u=0}V = \{ \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \ | \ (A-I)\mathbf{u} = \mathbf{0} \}

这显然是齐次方程组的解空间，必为子空间。

学习建议#

  1. 理解维度关系：二维空间中的直线需要1个参数，三维空间中的平面需要2个参数

  2. 典型反例记忆：

    • 包含"or"条件的集合通常不是子空间

    • 非线性方程（如z2z^2）必然破坏封闭性

  3. 练习策略：先尝试用方程组法，再练习生成集构造

练习题推荐：

  • 基础：练习（显/隐式转换）

  • 进阶：练习（生成空间的等价证明）

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