第8讲 正交矩阵（Orthogonal Matrices）

基本概念（Basic Concepts）#

对于向量 $u = (u_1, u_2, ..., u_n)$ 和 $v = (v_1, v_2, ..., v_n)$ ：

u \cdot v = \sum_{i=1}^n u_i v_i

\|u\| = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}

在 $\mathbb{R}^2$ 中，正交向量满足勾股定理：

\|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 \quad \text{当且仅当} \quad u \perp v

给定线性无关向量组 $\{u_1, u_2, ..., u_k\}$ ，构造正交基 $\{v_1, v_2, ..., v_k\}$ ：

$v_1 = u_1$
$v_2 = u_2 - \frac{u_2 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1$
$v_3 = u_3 - \frac{u_3 \cdot v_1}{\|v_1\|^2}v_1 - \frac{u_3 \cdot v_2}{\|v_2\|^2}v_2$ ... k. $v_k = u_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{u_k \cdot v_i}{\|v_i\|^2}v_i$

规范正交基：将每个 $v_i$ 单位化为 $w_i = \frac{v_i}{\|v_i\|}$

将基 $\{(1,1), (2,0)\}$ 正交化：

$v_1 = (1,1)$
$v_2 = (2,0) - \frac{(2,0)\cdot(1,1)}{2}(1,1) = (2,0) - (1,1) = (1,-1)$ 最终正交基： $\{(1,1), (1,-1)\}$

设 $V$ 是子空间， $u$ 的正交投影 $p$ 是 $V$ 中离 $u$ 最近的点：

p = \sum_{i=1}^k \frac{u \cdot v_i}{\|v_i\|^2}v_i \quad (\{v_i\} \text{为} V \text{的正交基})

线性系统 $Ax = b$ 的最小二乘解满足：

A^TAx = A^Tb

其几何意义是将 $b$ 投影到 $A$ 的列空间

求解超定方程组：

\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = 2 \\ x + 3y = 3 \end{cases}

构造法方程：

$A^TA = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 11 \end{pmatrix},\quad A^Tb = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \end{pmatrix}$

解得 $x = 1.29, y = 0.43$

矩阵 $Q$ 称为正交矩阵，若满足：

Q^TQ = I \quad \text{即} \quad Q^{-1} = Q^T

等价条件：

旋转矩阵是正交矩阵：

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

验证： $R_\theta^TR_\theta = I$

关键术语对照表：