第6讲向量空间关联矩阵（Vector Spaces associated Matrices） · 练习 · 量化课程

练习题 1 (基的判定)#

设 $V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0\}$ ，已知基 $S = \{(1,0,1), (0,1,2)\}$ 。判断以下集合是否为 $V$ 的基：

(a) $T_1 = \{(2,1,4), (1,1,3)\}$

(b) $T_2 = \{(3,2,7), (1,0,1)\}$

练习题 2 (过渡矩阵计算)#

设 $\mathbb{R}^3$ 的基 $S = \{\mathbf{u}_1=(1,1,0), \mathbf{u}_2=(1,0,1), \mathbf{u}_3=(0,1,1)\}$ ，

基 $T = \{\mathbf{v}_1=(1,0,0), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,1,1)\}$ 。

求从 $S$ 到 $T$ 的过渡矩阵。

练习题 3 (秩的参数分析)#

对矩阵 $B = \begin{pmatrix}1 & a & 2 \\ a & 4 & 1 \\ 2 & 1 & a\end{pmatrix}$ ，分析参数 $a$ 不同取值时矩阵的秩。

练习题 4 (零空间与秩)#

设矩阵 $C = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -3\end{pmatrix}$ ：

(a) 求零空间的一组基

(b) 验证秩-零度定理

练习题 5 (秩的性质证明)#

证明：对任意 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $n \times p$ 矩阵 $B$ ，有

$\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$ .

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练习题 1#

答案

(a) 是基

(b) 不是基

解析

(a) 验证线性无关性：

设 $c_1(2,1,4) + c_2(1,1,3) = 0$ ，解得唯一解 $c_1=c_2=0$ 。

因 $\dim(V)=2$ 且含 2 个线性无关向量，故为基。

(b) 两个向量 $(3,2,7)$ 与 $(1,0,1)$ 都属于 $V$ ，且不互为标量倍数，因此线性无关。因 $\dim(V)=2$ ，故 $T_2$ 也是 $V$ 的基。

练习题 2#

答案

过渡矩阵为

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

解析

将 $\mathbf{u}_i$ 用 $\mathbf{v}_j$ 表示后构建矩阵并求逆。

练习题 3#

答案

当 $-a^3+8a-17 \neq 0$ 时， $\text{rank}(B)=3$
当 $-a^3+8a-17=0$ 时， $\text{rank}(B)=2$ 。该方程只有一个实根，约为 $a=-3.57200643$

解析

计算行列式 $\det(B) = -a^3+8a-17$ ，结合秩的定义分析。

练习题 4#

答案

(a) 基为 $\{(-2,1,0), (1,0,1)\}$

(b) $\text{rank}(C)=1$ , $\text{nullity}(C)=2$ ，满足 $1+2=3$ （列数）

解析

解 $C\mathbf{x}=0$ 得通解 $\mathbf{x} = s(-2,1,0) + t(1,0,1)$ 。

练习题 5#

证明

设 $B$ 的列向量为 $\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_p$ ，则 $AB$ 的列向量为 $A\mathbf{b}_1, \dots, A\mathbf{b}_p$ 。

这些向量属于 $A$ 的列空间，故 $\text{rank}(AB) \leq \dim(\text{Col}(A)) = \text{rank}(A)$ 。

进一步由 $\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$ （因列空间为 $B$ 列空间的子集）。