第9讲正交和线性变换（Orthogonality and Linear Transformations） · 练习 · 量化课程

习题1（过渡矩阵应用）#

坐标系绕原点逆时针旋转45°得到新坐标系：

定义线性变换 $T(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}x+2y\\3y-x\end{pmatrix}$ ，求其标准矩阵

判断以下矩阵是否正交矩阵，并说明理由：

A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

对于线性变换：

$T(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}x+y\\y-z\\0\end{pmatrix}$ 求其秩和零化度，并验证秩-零化度定理

给定线性变换：

S(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\mathbf{x},\quad T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\mathbf{x}

求复合变换 $T \circ S$ 的标准矩阵

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旋转矩阵：

P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}

P^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}

原坐标：

$P\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

标准基变换：

T(\mathbf{e}_1) = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\quad T(\mathbf{e}_2) = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

标准矩阵：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

验证正交性：

列向量长度均为1： $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1$
列向量正交： $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
$A^TA = I$ 结论：是正交矩阵

标准矩阵：

A = \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}

复合变换矩阵：

BA = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}