第5讲 向量空间II（Vector Spaces II）

1. 线性无关 (Linearly Independent)#

对于集合 $S = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_k \} \subset \mathbb{R}^n$ ，若方程

c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + \cdots + c_k \mathbf{u}_k = \mathbf{0}

仅有零解 $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$ ，则称 S 为线性无关集。否则称为线性相关集。

包含零向量的集合必线性相关 若 $\mathbf{0} \in S \subset \mathbb{R}^n$ ，则 S 线性相关。
扩展无关集 若 $\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}k$ 线性无关，且 * $\mathbf{u}{k+1}$ *不是它们的线性组合，则扩展后的集合仍线性无关。

判断集合 $S = \{ (1,2), (3,4) \}$ 是否线性无关：

构造方程 $c_1(1,2) + c_2(3,4) = (0,0)$ ，解得 $c_1 = 0, c_2 = 0$ ，故线性无关。

集合 $S = \{ \mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_k \}$ 称为向量空间 V 的基，若满足：

若 S 是 V 的基，则任意 $\mathbf{v} \in V$ 可唯一表示为：

\mathbf{v} = c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_k \mathbf{u}_k

称 $(\mathbf{v})_S = (c_1, \dots, c_k)$ 为 $\mathbf{v}$ 关于基 S 的坐标向量。

在 $\mathbb{R}^n$ 中，标准基为 $\{ \mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n \}$ ，其中 $\mathbf{e}_i$ 第 i 个分量为1，其余为0。

向量空间 V 的维数 $\dim(V)$ 是其基中向量的个数。零空间的维数定义为0。

题目：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 线性无关，判断集合 $S_4 = \{ \mathbf{u}, \mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w} \}$ 是否线性无关。

解法：

设 $a\mathbf{u} + b(\mathbf{u}+\mathbf{v}) + c(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{0}$
整理得： $(a+b+c)\mathbf{u} + (b+c)\mathbf{v} + c\mathbf{w} = \mathbf{0}$
由线性无关性得方程组：

\begin{cases} a + b + c = 0 \\ b + c = 0 \\ c = 0 \end{cases}