第9讲 正交和线性变换（Orthogonality and Linear Transformations）

一、过渡矩阵（Transition Matrix）#

设 $S = \{ \mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n \}$ 和 $T = \{ \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n \}$ 是 n 维向量空间 V 的两个基，则从 S 到 T 的过渡矩阵 P 由下式唯一确定：

(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n) = (\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)P

其中 P 的列向量为 $[\mathbf{u}_1]_T,...,[\mathbf{u}_n]_T$ 。

坐标转换公式：对任意向量 $\mathbf{w}$ ，有

[\mathbf{w}]_T = P[\mathbf{w}]_S

考虑 xy 坐标系绕原点逆时针旋转 θ 角得到 x'y' 坐标系的情况：

R = \begin{pmatrix} \cosθ & -\sinθ \\ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}, \quad R^{-1} = \begin{pmatrix} \cosθ & \sinθ \\ -\sinθ & \cosθ \end{pmatrix}

例：θ = 60° 时：

R = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

点在 xy 系的坐标 $(2,1)$ 转换为 x'y' 系坐标时，新基向量组成的矩阵为 $R$ ，因此从旧坐标到新坐标的过渡矩阵是 $R^{-1}$ ：

R^{-1}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3}/2 \\ 1/2-\sqrt{3} \end{pmatrix}

线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的标准矩阵 A 满足：

T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\x_n\end{pmatrix}

构造方法：计算标准基向量的像

A = [T(\mathbf{e}_1)\ |\ T(\mathbf{e}_2)\ |\ \cdots\ |\ T(\mathbf{e}_n)]

设线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的标准矩阵为 A

像空间（Range）： $R(T) = \{ T(\mathbf{u}) | \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \}$ ➔ A 的列空间
核空间（Kernel）： $\text{Ker}(T) = \{ \mathbf{u} | T(\mathbf{u}) = \mathbf{0} \}$ ➔ A 的零空间

\text{rank}(T) + \text{nullity}(T) = n

几何解释：

定义投影变换 $P(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n}$ ，其中 $\|\mathbf{n}\|=1$

标准矩阵：

P = I - \mathbf{n}\mathbf{n}^T

性质验证：

P^2 = P \quad (\text{幂等性})

定义反射变换 $F(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n}$

正交性验证：

F \circ F = I \quad \text{且} \quad F^T = F

关键术语表：