数理基础概率基础（Probability Foundations） · 概率第1–8讲1/8模块导览 →

讲义

概率第1讲：组合分析 | COMBINATORIAL ANALYSIS

介绍加法与乘法计数原理，区分排列和组合的适用条件，并通过抽样与分配问题建立事件计数方法。

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本文目录 · 10 节

基本计数原理 | Basic Principle of Counting#

核心概念#

组合分析 (Combinatorial Analysis)：研究计数的数学理论
基本计数原理：若实验1有 $m$ 种结果，对实验1的每个结果，实验2都有 $n$ 种结果，则两个实验共有 $m \times n$ 种组合结果
推广计数原理：若有 $r$ 个连续实验，各实验可能结果数分别为 $n_1, n_2,...,n_r$ ，则总可能结果数为：

n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_r

应用示例#

例1（电话号码组合）：

某地区电话号码格式为：区号3位 + 局号3位 + 用户号4位
计算可能的号码总数：

$10^3 \times 10^3 \times 10^4 = 10^{10}$

学习建议：将复杂问题分解为多个独立步骤，使用乘法原理逐步计算。

排列 | Permutations#

基本公式#

阶乘 (Factorial)：

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1

特殊规定： $0! = 1! = 1$

全排列： $n$ 个不同元素的排列方式数为：

P(n) = n!

含重复元素的排列：当存在 $n_1$ 个相同元素， $n_2$ 个另一类相同元素等时：

\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!} \quad (\sum_{i=1}^r n_i = n)

典型例题#

例2（字母排列）：

单词"SUCCESS"的字母排列数计算：
- 总字母数：7
- 重复字母：3个S，2个C
  
  $\frac{7!}{3!2!} = 420$

练习题：计算"MATHEMATICS"的不同排列数（答案见文末）

组合 | Combinations#

组合公式#

二项式系数 (Binomial Coefficient)：

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

表示从 $n$ 个元素中不考虑顺序选取 $r$ 个的方式数

组合恒等式：

\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}

应用场景#

例3（委员会选举）：

从8位教授中选4位组成委员会，不同选法数：

$\binom{8}{4} = 70$

例4（扑克牌组合）：

从52张牌中选5张的不同组合数：

$\binom{52}{5} = 2,598,960$

学习技巧：注意区分排列（顺序重要）与组合（顺序无关）。例如：

密码锁是排列问题（123 ≠ 321）
彩票号码是组合问题（1-2-3与3-2-1视为相同）

综合练习#

推荐练习题：

（E18）计算10本不同书分给3人的方法数，要求每人至少1本
（E20-22）验证组合恒等式 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
（E26）计算包含3个元音和2个辅音的5字母单词数（假设有5个元音，21个辅音）

重要提醒：当处理复杂计数问题时，建议：

明确是否考虑元素顺序
检查是否有重复元素
使用树状图辅助分析
验证答案是否合理（如总数不应超过基本情况）

练习题答案：

"MATHEMATICS"排列数： $\frac{11!}{2!2!2!} = 4,989,600$

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