第10讲 公式专项 · 练习

1. 三角不等式验证

$|-5 + 3| = 2$，$|-5| + |3| = 8$，满足 $2 \\leq 8$

2. 二项式展开

$(2x)^3 + 3(2x)^2(-y) + 3(2x)(-y)^2 + (-y)^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

3. 因式分解

$(4a)^3 + (5b)^3 = (4a + 5b)(16a^2 - 20ab + 25b^2)$

4. 三角比较

$\\sin 0.8 ≈ 0.717 < 0.8 < \\tan 0.8 ≈ 1.088$

5. 三角转换

$\\sin \\theta = \\frac{3}{\\sqrt{3^2 + 4^2}} = \\frac{3}{5}$

6. 导数计算

$f'(x) = \\frac{2x}{|x^2|\\sqrt{x^4 - 1}} = \\frac{2}{x\\sqrt{x^4 - 1}} \\quad (x > 1)$

7. 积分计算

$\\frac{1}{3}\\ln|\\sin 3x| + C \\quad (0 < x < \\pi/3)$

8. 导数值计算

$\\left.\\frac{1}{2\\sqrt{x}(1+x)}\\right|\_{x=1} = \\frac{1}{4}$

9. 不等式证明

利用 $\\sin x = x - \\frac{x^3}{6} + o(x^3)$ 展开，比较 $\\frac{\\sin x}{x} = 1 - \\frac{x^2}{6} > \\cos x = 1 - \\frac{x^2}{2}$

10. 金融含义

二阶导数 $\\frac{d^2A}{dt^2} = Pr^2e^{rt}$ 表示收益率加速度，反映复利增长速率的变化率

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建议先独立完成练习后再对照答案，计算题请特别注意计算过程的正规性