概率第5讲：连续随机变量 | Continuous Random Variables · 量化课程

1. 定义与概率密度函数 | Definition and Probability Density Function (PDF)#

随机变量 $X$ 是连续型的，如果存在一个非负函数 $f(x)$ （称为概率密度函数，Probability Density Function, PDF），使得对任意实数集合 $B$ 有：

P(X \in B) = \int_B f(x) dx

关键性质：

对于极小量 $dx$ ，有：

P(x < X < x + dx) \approx f(x) \cdot dx

即 $f(x)$ 表示 $X$ 在 $x$ 附近单位长度的概率密度。

例1：设 $X$ 的PDF为 $f(x) = \frac{1}{b-a}$ （当 $a \leq x \leq b$ ），这是均匀分布的概率密度函数。计算 $P(a < X < c)$ ，其中 $a < c < b$ 。

解：

P(a < X < c) = \int_a^c \frac{1}{b-a} dx = \frac{c-a}{b-a}

对任意实数 $x$ ，定义：

F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt

由微积分基本定理可得：

f(x) = \frac{d}{dx}F(x)

性质：

中位数 $x_{med}$ 满足：

F(x_{med}) = \frac{1}{2}

例2：求指数分布 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ （ $x \geq 0$ ）的中位数。

解：

若 $X$ 有CDF $F(x)$ ，则：

F(X) \sim Uniform(0,1)

证明：设 $Y = F(X)$ ，则对 $0 \leq y \leq 1$ ：

\begin{aligned} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}(y)) \\ &= F(F^{-1}(y)) = y \end{aligned}

若 $U \sim Uniform(0,1)$ ，则：

X = F^{-1}(U)

服从CDF为 $F(x)$ 的分布。

学习建议：使用Python的numpy.random模块实践生成不同分布的随机数。

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

性质：

对非负随机变量 $Y$ ：

E(Y) = \int_0^\infty P(Y > y) dy

证明（交换积分次序）：

\begin{aligned} \int_0^\infty P(Y > y) dy &= \int_0^\infty \int_y^\infty f_Y(x) dx dy \\ &= \int_0^\infty \int_0^x f_Y(x) dy dx \\ &= \int_0^\infty x f_Y(x) dx \end{aligned}

例3：验证指数分布 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$

解：

\begin{aligned} E(X) &= \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &= \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx \\ &= 0 + \frac{1}{\lambda} \quad \text{（分部积分法）} \end{aligned}