概率第4讲：随机变量 | Random Variables · 量化课程

1. 基本概念#

1.1 定义#

随机变量(Random Variable)是定义在样本空间上的实值函数，记作 $X: \Omega \to \mathbb{R}$

关键特性：

离散型随机变量(Discrete Random Variable)：取值集合可数
连续型随机变量(Continuous Random Variable)：取值不可数

1.2 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)#

对离散型随机变量 $X$ ，定义：

p(a) = P(X = a)

满足：

\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1 \quad \text{且} \quad p(x_i) \geq 0

示例：

a	1	2	4
p(a)	1/2	1/4	1/4

2. 常见离散分布#

2.1 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)#

定义：

X \sim \text{Bernoulli}(p) \Rightarrow p(x) = \begin{cases} p, & x=1 \ (\text{成功}) \\ 1-p, & x=0 \ (\text{失败}) \end{cases}

性质：

期望： $E(X) = p$
方差： $\text{Var}(X) = p(1-p)$

金融应用：单次投资决策的成功/失败建模

2.2 二项分布 (Binomial Distribution)#

定义：

X \sim \text{Binomial}(n,p) \Rightarrow P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

推导：当 $X_1,...,X_n$ 为独立同分布的伯努利变量时：

X = \sum_{i=1}^n X_i

性质：

期望： $E(X) = np$
方差： $\text{Var}(X) = np(1-p)$

示例：

假设某基金每日盈利概率为0.6，计算10天中恰好7天盈利的概率：

P(X=7) = \binom{10}{7} 0.6^7 \times 0.4^3 \approx 0.215

2.3 几何分布 (Geometric Distribution)#

定义：

P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \quad (k=1,2,...)

性质：

期望： $E(X) = \frac{1}{p}$
方差： $\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

金融应用：首次投资成功所需时间建模

3. 泊松过程 (Poisson Process)#

3.1 泊松分布 (Poisson Distribution)#

定义：

X \sim \text{Poisson}(\lambda) \Rightarrow P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}

近似条件：当 $n \geq 20$ 且 $p \leq 0.05$ 时：

\text{Binomial}(n,p) \approx \text{Poisson}(\lambda=np)

性质：

期望： $E(X) = \lambda$
方差： $\text{Var}(X) = \lambda$

金融应用：罕见事件建模（如黑天鹅事件）

3.2 到达时间分布#

定理：在速率为 $\lambda$ 的泊松过程中，首次到达时间 $T$ 服从指数分布：

P(T > t) = e^{-\lambda t}

示例：

假设某交易系统故障率为3次/年，求至少半年无故障的概率：

P(T > 0.5) = e^{-3 \times 0.5} = e^{-1.5} \approx 0.223

4. 期望与方差#

4.1 期望值 (Expected Value)#

定义：

E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x)

线性性质：

E(aX + b) = aE(X) + b

4.2 方差 (Variance)#

定义：

\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E(X^2) - [E(X)]^2

性质：

\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)

5. 经典问题解析#

5.1 优惠券收集问题 (Coupon Collector Problem)#

问题：收集 $N$ 种优惠券，求收集完整套所需次数的分布

解法：使用容斥原理：

P(T > n) = \sum_{k=1}^N (-1)^{k+1} \binom{N}{k} \left(1 - \frac{k}{N}\right)^n

金融类比：投资组合多样化所需最低样本量

5.2 生日问题 (Birthday Problem)#

近似解：当有 $n$ 人时，至少两人生日相同的概率：

P \approx 1 - e^{-n(n-1)/730}

学习建议：尝试计算当 $n=23$ 时的精确概率（答案约0.507）

学习路线建议：

从伯努利试验开始理解二元结果
通过二项分布掌握独立试验的叠加
理解泊松分布与二项分布的关系
用实际金融案例验证理论公式
通过编程实现分布模拟（推荐Python的scipy.stats模块）

进阶思考：如何将泊松过程应用于高频交易中的订单流建模？