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讲义

概率第6讲：联合分布随机变量 | Jointly Distributed Random Variables

讲解联合分布函数、联合质量函数与联合密度函数，并通过求和或积分从联合分布推导边际分布。

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本文目录 · 11 节

1. 联合分布函数 (Joint Distribution Function)#

联合累积分布函数用于描述两个随机变量共同的概率行为：

F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y), \quad -\infty < x < \infty, -\infty < y < \infty

1.1 边际分布 (Marginal Distributions)#

X的边际分布：

F_X(x) = \lim_{y \to \infty} F(x, y)

Y的边际分布：

F_Y(y) = \lim_{x \to \infty} F(x, y)

1.2 重要概率公式#

联合事件的概率：

P(X > a, Y > b) = 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F(a, b)

推导提示：利用概率的容斥原理，通过Venn图理解区域重叠

矩形区域概率：

P(a_1 < X \leq a_2, b_1 < Y \leq b_2) = F(a_2, b_2) + F(a_1, b_1) - F(a_1, b_2) - F(a_2, b_1)

2. 联合概率质量函数 (Joint Probability Mass Function)#

当X和Y均为离散型随机变量时，联合pmf定义为：

p(i, j) = P(X = i, Y = j)

2.1 边际pmf#

X的边际pmf：

P(X = i) = \sum_j p(i, j)

Y的边际pmf：

P(Y = j) = \sum_i p(i, j)

例子：二维离散分布#

设联合pmf为：

p(i,j) = \begin{cases} 0.2 & (i,j)=(1,1) \\ 0.3 & (i,j)=(1,2) \\ 0.5 & (i,j)=(2,1) \\ 0 & \text{其他} \end{cases}

求X的边际分布：

$P(X=1) = 0.2 + 0.3 = 0.5,\quad P(X=2) = 0.5$

3. 联合概率密度函数 (Joint Probability Density Function)#

当X和Y为连续型随机变量时，存在联合pdf使得对任意二维区域C：

P((X,Y) \in C) = \iint_C f(x,y) \, dx \, dy

3.1 关键性质#

累积分布函数关系：

F(a,b) = \int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y) \, dx \, dy

从CDF求PDF：

f(a,b) = \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)

3.2 边际pdf#

X的边际pdf：

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy

Y的边际pdf：

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx

例子：指数分布的概率计算#

设联合pdf为：

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-x}e^{-y} & x>0,y>0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}

求P(X < Y)：

\begin{aligned} P(X < Y) &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} 2e^{-x}e^{-y} \, dx \, dy \\ &= \int_{0}^{\infty} 2e^{-y} \left(1 - e^{-y}\right) dy \\ &= 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \end{aligned}

关键步骤：先对x积分时，将y视为常数

学习建议#

可视化辅助：绘制概率区域图（如X<Y对应的区域）帮助理解积分范围
分步练习：
- 先掌握离散型案例的边际分布计算
- 再练习简单连续型分布（如均匀分布）的积分
软件工具：使用Wolfram Alpha验证积分结果

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