概率第5讲：连续随机变量 | Continuous Random Variables · 练习 · 量化课程

习题1（概率计算）#

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为：

f(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2 & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}

计算：(1) $P(1 < X < 1.5)$ (2) 确定常数 $c$ 使得 $P(X > c) = 0.25$

习题2（CDF与PDF转换）#

已知随机变量 $X$ 的累积分布函数：

F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{x^3}{8} & 0 \leq x \leq 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases}

求对应的概率密度函数 $f(x)$ 。

习题3（中位数计算）#

某城市公交车到站时间间隔 $T$ （分钟）服从概率密度函数：

f(t) = \frac{1}{10}e^{-t/10} \quad (t \geq 0)

求乘客等待时间的中位数。

习题4（随机变量生成）#

设 $U \sim Uniform(0,1)$ ，请使用逆变换法生成服从以下分布的随机变量：

F(x) = 1 - e^{-x^2} \quad (x \geq 0)

习题5（期望计算）#

已知随机变量 $X$ 的概率密度函数：

f(x) = \begin{cases} 2e^{-2x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}

计算：(1) $E(X)$ (2) $E(X^2)$ (3) $Var(X)$

习题6（综合应用）#

某股票价格波动幅度 $Y$ （百分比）服从概率密度函数：

f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} \quad (-\infty < y < \infty)

求：(1) $P(-1 < Y < 1)$ (2) $E(|Y|)$

查看参考答案

习题1答案#

(1)

$\int_{1}^{1.5} \frac{3}{8}x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{8} \right]_1^{1.5} = \frac{(3.375 - 1)}{8} = 0.2969$

(2)

$\int_{c}^{2} \frac{3}{8}x^2 dx = 0.25 \Rightarrow 1 - \frac{c^3}{8} = 0.25 \Rightarrow c = \sqrt[3]{6} \approx 1.817$

习题2答案#

f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{8} & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}

习题3答案#

解方程：

$1 - e^{-t/10} = 0.5 \Rightarrow t = 10\ln2 \approx 6.93 \text{分钟}$

习题4答案#

设 $U = 1 - e^{-X^2}$ ，解得：

$X = \sqrt{-\ln(1-U)}$

由于 $1-U$ 也服从 $Uniform(0,1)$ ，可简化为：

$X = \sqrt{-\ln U}$

习题5答案#

(1)

$E(X) = \int_0^\infty 2x e^{-2x} dx = \frac{1}{2}$

(2)

$E(X^2) = \int_0^\infty 2x^2 e^{-2x} dx = \frac{1}{2}$

(3)

$Var(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

习题6答案#

(1) 标准正态分布概率：

$\Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0.6827$

(2) 对称性计算：

$E(|Y|) = 2\int_0^\infty \frac{y}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} dy = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0.7979$