概率第4讲：随机变量 | Random Variables · 练习

1. 伯努利分布

   $E(X) = 0.55$

   $\text{Var}(X) = 0.55 \times 0.45 = 0.2475$

2. 二项分布

   (a) $\binom{5}{3}0.6^30.4^2 = 0.3456$

   (b) $\sum_{k=4}^5 \binom{5}{k}0.6^k0.4^{5-k} = 0.3370$

3. 几何分布

   (a) $(1-0.15)^4 \times 0.15 = 0.0783$

   (b) $E(X) = 1/0.15 ≈ 6.67$次

4. 泊松分布

   (a) $e^{-2.5} ≈ 0.0821$

   (b) $\lambda=7.5$, $1 - \sum_{k=0}^4 e^{-7.5}\frac{7.5^k}{k!} ≈ 0.867$

5. 投资组合风险

   $\lambda=50 \times 0.012=0.6$

   (a) $e^{-0.6}0.6 ≈ 0.329$

   (b) $1 - e^{-0.6}(1+0.6) ≈ 0.122$

6. 高频交易

   (a) $\lambda=120/6=20$, $e^{-20}≈2.06 \times 10^{-9}$

   (b) $E(T_{100}) = 100/120 \times 60 = 50$秒

7. 期权定价

   (a) $E[V] = e^{μ + \frac{σ^2}{2}}Φ(d_1) - KΦ(d_2)$

   (b) 波动率增加会拉宽分布尾部，增加期权价值

8. 风险价值

   (a) $VaR_{0.95} = -(0.001 - 1.645 \times 0.022) ≈ 3.58\%$

   (b) $VaR_{10D} = \sqrt{10} \times VaR_{1D} ≈ 11.32\%$

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建议：完成练习后对照答案时，重点关注：

1. 概率模型的建立过程

2. 分布参数的实际意义

3. 金融场景中的条件假设合理性

4. 连续复利计算与离散计算的差异