概率第8讲：极限定理 | Limit Theorems · 练习

题1#

$P(X \geq 15) \leq \frac{E[X]}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

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题2#

马尔可夫上界：

$P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a} = \frac{1/\lambda}{a} = \frac{1}{\lambda a}$

真实概率（指数分布的无记忆性）：

$P(X \geq a) = e^{-\lambda a}$

对比：当 $\lambda a < 1$ 时，马尔可夫上界比真实概率宽松（例如 $\lambda=0.5, a=2$，上界为 1，真实值为 $e^{-1} \approx 0.367$）。

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题3#

• (a)

  $P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0.25$

• (b)

  $P(40 \leq X \leq 60) = P(|X - 50| \leq 10) \geq 1 - \frac{25}{10^2} = 0.75$

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题4#

真实概率（均匀分布）：

$P(|X - 0.5| \geq 0.2) = P(X \leq 0.3 \text{ 或 } X \geq 0.7) = 0.3 + 0.3 = 0.6$

切比雪夫上界：

$Var(X) = \frac{1}{12}, \quad P(|X - 0.5| \geq 0.2) \leq \frac{1/12}{0.2^2} = \frac{1}{12 \times 0.04} \approx 2.083$

对比：实际概率为 0.6，但切比雪夫给出上界 2.083（无意义，因概率 ≤1）。说明切比雪夫不等式对某些分布可能过于宽松。

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题5#

证明：

• 设$\mu = E[X]$，若 $Var(X) = E[(X - \mu)^2] = 0$，则积分$\int_{-\infty}^\infty (x - \mu)^2 f_X(x) dx = 0$。

• 被积函数 $(x - \mu)^2 f_X(x) \geq 0$，积分为零当且仅当 $(x - \mu)^2 f_X(x) = 0$ 几乎处处成立。

• 因此 $f_X(x) = 0$ 对所有 $x \neq \mu$，即 $P(X = \mu) = 1$。