概率第2讲：概率公理 | Axioms of Probability · 练习 · 量化课程

练习题#

基本概念

抛两枚硬币的样本空间是 $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ ，定义事件：
- $E$ : 至少一次正面朝上
- $F$ : 第二次是反面求： (a) $E \cup F$ (b) $E \cap F$ (c) $F^c$
德摩根定律应用

用德摩根定律简化：

\left( A \cup B \cup C \right)^c

概率计算

已知某股票市场日行情概率：
- $P(\text{上涨}) = 0.6$
- $P(\text{成交量>1亿}) = 0.4$
- $P(\text{上涨} \cap \text{成交量>1亿}) = 0.3$
- 求：某日"不上涨或成交量≤1亿"的概率
公理验证

在样本空间 $S = \{a,b,c\}$ 中，以下概率分配是否满足柯尔莫哥洛夫公理？
- $P(\{a\}) = 0.5$
- $P(\{b\}) = 0.7$
- $P(\{c\}) = 0.2$
综合应用

设样本空间 $S = \{1,2,3,4,5\}$ ，已知：
- $P(\{1\}) = P(\{2\}) = 0.2$
- $P(\{3\}) = P(\{4\}) = 0.1$ 求： (a) $P(\{5\})$ (b) $P(\text{奇数})$

查看答案

答案

(a) $E \cup F = \{HH, HT, TH, TT\} = S$

(b) $E \cap F = \{HT, TT\}$

(c) $F^c = \{HH, HT\}$

解析：F是第二次为反面的结果* $\{HT, TT\}$ **，其补集为第二次不是反面的结果*
答案

$\left( A \cup B \cup C \right)^c = A^c \cap B^c \cap C^c$

解析：根据德摩根第一定律的扩展形式
答案

$P(\text{不上涨} \cup \text{成交量≤1亿}) = 1 - P(\text{上涨} \cap \text{成交量>1亿}) = 1 - 0.3 = 0.7$

技巧：利用 $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c)$
答案

不满足公理：
- 概率和 $0.5+0.7+0.2 = 1.4 > 1$ 违反规范性公理
- $P(\{b\}) = 0.7 > 0$ 虽然满足非负性，但总体不符合规范性
答案

(a) 由规范性公理：

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + P(\{5\}) = 1 ⇒ P(\{5\}) = 0.4$

(b) $P(\text{奇数}) = P(\{1\}) + P(\{3\}) + P(\{5\}) = 0.2 + 0.1 + 0.4 = 0.7$

注意：奇数集合是* $\{1,3,5\}$ *