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概率第7讲：期望的性质 | Properties of Expectation · 练习

练习使用有界性和线性性计算随机变量期望，比较投资组合与随机策略，并证明线性性和单调性。

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本文目录 · 7 节

一、基础计算题#

（有界性验证）

设随机变量 $X$ 的概率分布为：

x 2 3 5
$P(X=x)$ 0.4 0.3 0.3
(1) 验证 $E(X)$ 是否满足 $2 \leq E(X) \leq 5$
(2) 若定义 $Y = 2X + 1$ ，求 $E(Y)$
（线性性应用）

已知 $E(X) = 3$ ， $E(Y) = -1$ ，求： (1) $E(2X - 3Y + 5)$

(2) $E(X + \frac{Y}{2})$
（样本均值）

某灯泡寿命服从期望为 1200 小时的指数分布。现随机抽取 50 只灯泡： (1) 求这50只灯泡平均寿命的期望

(2) 若每只灯泡成本为 $100 + 0.1X$ 元（ $X$ 为寿命），求单只灯泡成本的期望

二、综合应用题#

（投资组合）

某投资者持有两种资产：
- 资产A：预期收益率 $E(R_A) = 8\%$
- 资产B：预期收益率 $E(R_B) = 12\%$
投资组合为 $W = 0.6R_A + 0.4R_B$ ，求： (1) 组合预期收益率 $E(W)$

(2) 若新组合 $V = W - 0.05$ （扣除管理费），求 $E(V)$
（游戏策略选择）

某游戏有两种策略：
- 策略一：确定获得 $50 元
- 策略二：随机获得 $X$ 元， $P(X=0)=0.3$ , $P(X=100)=0.7$
用期望理论说明哪个策略更优

三、证明题#

证明：对于任意常数 $a,b$ 和随机变量 $X,Y$ ，有：

$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$
设 $X \geq Y$ 几乎必然成立，且 $E(Y)$ 存在，证明 $E(X) \geq E(Y)$

查看参考答案

一、基础计算题#

(1) $E(X) = 2×0.4 + 3×0.3 + 5×0.3 = 3.2$ ，满足 $2 \leq 3.2 \leq 5$

(2) $E(Y) = 2E(X)+1 = 7.4$
(1) $2×3 - 3×(-1) + 5 = 14$

(2) $3 + (-1)/2 = 2.5$
(1) $E(\bar{X}) = 1200$ 小时

(2) $E(100 + 0.1X) = 100 + 0.1×1200 = 220$ 元

二、综合应用题#

(1) $0.6×8\% + 0.4×12\% = 9.6\%$

(2) $E(V) = 9.6\% - 5\% = 4.6\%$
策略一期望：50元

策略二期望：0×0.3 + 100×0.7 = 70元

策略二更优

三、证明题#

由线性性：

$E(aX + bY) = E(aX) + E(bY) = aE(X) + bE(Y)$
令 $Z = X - Y \geq 0$ ，则 $E(Z) \geq 0$

$\Rightarrow E(X) - E(Y) \geq 0 \Rightarrow E(X) \geq E(Y)$

完成练习后，自评一次

建议先独立作答，再展开参考答案进行核对。

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