概率第1讲：组合分析 | COMBINATORIAL ANALYSIS · 练习

1. 解

   将数学书视为整体（1单元），金融书视为整体（1单元），共2个单元排列：

   $2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$

2. 解

   使用乘法原理：

   $26 \times 10^3 \times 3 = 26 \times 1000 \times 3 = 78,\!000$

3. 解

   先计算满足元音 I、A、E 保持相对顺序的排列。FINANCE 的不同排列总数为 $7!/2!$，三枚不同元音的相对顺序有 $3!$ 种，因此共有 $\frac{7!}{2!\,3!}=420$ 种。

   再扣除两个 N 相邻的排列。把 NN 视为一个整体，与 F、C、I、A、E 共六个对象；固定三枚元音的相对顺序后共有 $\frac{6!}{3!}=120$ 种。

   因此答案为 $420-120=300$。

4. 证明

   考虑组合意义：从两堆各n个物品中选n个

   左边：选k个从第一堆，n-k个从第二堆 → $\sum \binom{n}{k}\binom{n}{n-k}$

   右边：直接从2n个物品中选n个

   由对称性 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$，得证

5. 解

   分情况计算：

   Case1 (2科, 0金, 3消)：

   $\binom{6}{2}\binom{4}{0}\binom{5}{3} = 15 \times 1 \times 10 = 150$

   Case2 (3科, 0金, 2消)：

   $\binom{6}{3}\binom{4}{0}\binom{5}{2} = 20 \times 1 \times 10 = 200$

   Case3 (4科, 0金, 1消)：

   $\binom{6}{4}\binom{4}{0}\binom{5}{1}=75$

   Case4 (5科, 0金, 0消)：

   $\binom{6}{5}=6$

   Case5 (2科, 1金, 2消)：

   $\binom{6}{2}\binom{4}{1}\binom{5}{2} = 15 \times 4 \times 10 = 600$

   Case6 (3科, 1金, 1消)：

   $\binom{6}{3}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=400$

   Case7 (4科, 1金, 0消)：

   $\binom{6}{4}\binom{4}{1}=60$

   Total: $150+200+75+6+600+400+60=1491$

6. 解

   分步计算：

7. 选3个元音：$\binom{5}{3} = 10$

8. 选4个辅音（允许重复）： 总数： $21^4$ 扣除无重复的情况： $P(21,4) = 21\times20\times19\times18$ 有效辅音组合： $21^4 - 21\times20\times19\times18 = 194,\!481$

9. 排列7字母（含至少2重复辅音）：

   $\frac{7!}{2!}$（假设只有1对重复） 最终结果：

   $10 \times 194,\!481 \times 2520 = 4,\!903,\!261,\!200$

（注：此为近似解，实际情况需更精确的重复次数分析）