概率第3讲：条件概率与独立性 | Conditional Probability and Independence · 练习

题目1解答#

• 第一张抽到J的概率：

  $P(J) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

• 条件概率计算。第一张 J 的花色未知；按四种 J 加权：

  $P(\text{第二张为红桃}\mid\text{第一张为 J}) = \frac{1}{4}\frac{12}{51}+\frac{3}{4}\frac{13}{51}=\frac{1}{4}$

题目2解答#

应用贝叶斯定理：

$$\begin{aligned} P(病|+) &= \frac{0.02 \times 0.98}{0.02 \times 0.98 + 0.98 \times 0.05} \\ &= \frac{0.0196}{0.0196 + 0.049} \approx 28.57\% \end{aligned}$$

题目3解答#

定义事件：

• $A^c$: 开关A故障，$P(A^c)=0.1$

• $B^c$: 开关B故障，$P(B^c)=0.2$

系统故障概率：

$P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$

由题设的独立性，系统故障概率为 $P(A^c \cap B^c)=P(A^c)P(B^c)=0.02$。