概率第3讲：条件概率与独立性 | Conditional Probability and Independence · 量化课程

1. 条件概率 | Conditional Probability#

对任意事件E和F（要求 $P(F) > 0$ ），条件概率定义为：

P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}

几何解释：将样本空间限制在事件F发生后的子空间，重新计算事件E的概率。

例（瓮问题）：两个瓮中，1号瓮有2白球3黑球，2号瓮有1白球4黑球。随机选择一个瓮后取球：

对任意事件序列 $E_1, E_2,...,E_n$ ：

P(E_1E_2...E_n) = P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1E_2)\cdots P(E_n|E_1E_2...E_{n-1})

应用案例：一副扑克牌连续不放回抽取3张A的概率：

P(A_1A_2A_3) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50}

设 $F_1,...,F_n$ 构成样本空间的分割（即互斥且并集为全集），则：

P(E) = \sum_{i=1}^n P(E|F_i)P(F_i)

树状图分析：

开始 / \

$F₁(0.3)$ $F₂(0.7)$ / \

$P(E|F₁)=0.8$ $P(E|F₂)=0.4$

总概率计算：

P(E) = 0.3 \times 0.8 + 0.7 \times 0.4 = 0.52

P(F_j|E) = \frac{P(F_j)P(E|F_j)}{\sum_{i=1}^n P(F_i)P(E|F_i)}

疾病检测案例：

P(D|+) = \frac{0.01 \times 0.95}{0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05} \approx 16.1\%

两个事件独立当且仅当：

P(E \cap F) = P(E)P(F)

等价于（当 $P(F) > 0$ 时）：

P(E|F) = P(E)

\begin{cases} P(EF) = P(E)P(F) \\ P(EG) = P(E)P(G) \\ P(FG) = P(F)P(G) \\ P(EFG) = P(E)P(F)P(G) \end{cases}

典型案例：连续掷两次公平骰子：

此时A与B独立，但A与C不独立。

可视化工具：多用树状图分析条件概率问题
贝叶斯直觉：理解"逆概率"的思维模式，区分先验概率与后验概率
独立性验证：验证 $P(E\cap F)=P(E)P(F)$ ；当条件概率有定义时，也可验证 $P(E\mid F)=P(E)$
典型错误：避免将独立事件与互斥事件混淆：
- 互斥事件 ⇒ $P(EF) = 0$
- 独立事件 ⇒ $P(EF) = P(E)P(F)$ → 只有当至少一个事件概率为0时，两者才可能共存

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