第5讲 微分应用（Appl. of Differentiation） · 练习

1. 极值判定#

步骤：

1. 求导：$( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) )$

2. 临界点：x=1, x=3

3. 二阶导数测试：

   • $( f''(x) = 6x - 12 )$

   • $f''(1) = -6 < 0$ → 局部极大值 $( f(1)=6 )$

   • $f''(3)=6 > 0$ → 局部极小值 $( f(3)=2 )$

4. 端点比较：

   • $f(-1)=-14, f(5)=22$

结论：

全局最大值22（x=5），全局最小值-14（x=-1）

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2. 中值定理验证#

验证：

1. 连续性：lnx在[1,e]连续 ✅

2. 可导性：在(1,e)可导 ✅ 计算c值：

   $\frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1-0}{e-1} = \frac{1}{e-1}$令 $( f'(c)=\frac{1}{c} = \frac{1}{e-1} )$ 解得 $( c = e-1 ) ∈ (1,e)$

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3. 泰勒展开#

展开过程：

1. 计算导数：

   • $( f(1)=1 )$

   • $( f'(1)=\frac{1}{2} )$

   • $( f''(1)=-\frac{1}{4} )$

   • $( f'''(1)=\frac{3}{8} )$

2. 三阶展开式：

   $T_3(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3$

3. 近似计算：

   $\sqrt{1.2} ≈ T_3(1.2)=1.0955 \quad (真实值≈1.0954)$

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4. 洛必达法则应用#

计算过程：

连续应用两次法则：

1. 第一次应用：

   $\lim_{x→0}\frac{2e^{2x}-2}{2x}$

2. 第二次应用：

   $\lim_{x→0}\frac{4e^{2x}}{2}=2$

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5. 金融应用分析#

(a) 内在价值最低点：

1. 求导：$( C'(S)=2S-10 )$

2. 临界点：S=5

3. 验证：$( C''(5)=2>0 )$→ 最小值点 最低价值 $( C(5)=0 )$

(b) 凹凸性分析：

由于$( C''(S)=2>0 )$，整个定义域上为凸函数（下凸）

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6. 综合应用题#

(a) 最大收益率时间：

1. 求导：$( R'(t)=0.3t^2-3.6t+5.4 )$

2. 解方程得临界点：$t=6\pm3\sqrt{2}$，其中只有 $t=6-3\sqrt{2}\approx1.757$ 位于 $[0,6]$

3. 比较值：

   • $R(0)=0$

   • $R(6-3\sqrt2)=10.8(\sqrt2-1)\approx4.474$

   • $R(6)=-10.8$ ⇒ 最大收益率在 $t=6-3\sqrt2\approx1.757$ 日

(b) 拐点分析：

1. 二阶导数：$( R''(t)=0.6t-3.6 )$

2. 令 $( R''(t)=0 )$→ t=6 但t=6在区间端点，不是拐点

(c) 泰勒预测： 以t=6为展开点：

$T_3(t)=-10.8-5.4(t-6)+0.1(t-6)^3$

因为 $R$ 本身是三次多项式，三阶泰勒展开与原函数完全相同，所以 $R(7)=-16.1$。