第3讲 连续函数（Continuous Functions） · 练习

基础练习答案#

1.#

解答步骤：

1. 计算左极限：$\lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 2$

2. 计算右极限：$\lim_{x \to 1^+} 2x = 2$

3. 函数值：$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

4. 结论：连续

答案：在x=1处连续

2.#

分析过程：

1. 潜在间断点：$x=0，x=π/2 + kπ（k∈Z）$

2. 分类：

   • x=0：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ⇒ 可去间断点

   • x=π/2 + kπ：$\tan x$无定义 ⇒ 无穷间断点

答案：

• 可去间断点：x=0

• 无穷间断点：x=π/2 + kπ（k∈Z）

3.#

证明过程：

1. 定义函数：$f(x) = x^5 - 3x - 1$

2. 计算端点值：

   • $f(1) = 1 - 3 - 1 = -3$

   • $f(2) = 32 - 6 - 1 = 25$

3. 应用IVT：因f(x)连续且-3 < 0 < 25

4. 结论：存在c∈(1,2)使f(c)=0

答案：证明成立

进阶练习答案#

4.#

分析步骤：

1. 内层函数：$\frac{x+2}{x-3}$定义域：x ≠ 3

2. 外层ln函数要求：$\frac{x+2}{x-3} > 0$

3. 解不等式：x < -2 或 x > 3

4. 最终连续区间：(-∞, -2) ∪ (3, +∞)

答案：连续区间为 (-∞, -2) ∪ (3, +∞)

5.#

证明过程： 给定ε > 0，取δ = ε/2： 当 |x-4| < δ 时，

$|f(x)-f(4)| = |2x+3 - 11| = 2|x-4| < 2δ = ε$

答案：证明完成

应用题答案#

6.#

分析过程：

1. 左极限：$\lim_{t \to 0^-} 100(1+0.05t) = 100$

2. 右极限：$\lim_{t \to 0^+} 100e^{0} = 100$

3. 函数值：$V(0) = 100$

4. 结论：连续

金融意义：产品价值在t=0时实现平滑衔接，没有突变

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学习建议：

1. 完成练习后对照答案检查关键步骤

2. 特别注意分段函数的连接点分析

3. 画图辅助理解介值定理的应用

4. 记录典型错误类型（如忽略定义域限制）