第1讲函数和集合（Functions&Sets） · 练习 · 量化课程

练习题#

集合运算：设 $A = \{2,4,6,8\}$ ， $B = \{x \in \mathbb{N} \ | \ x < 7\}$ ，求：
- $A \cup B$
- $A \cap B$
- $B \setminus A$
区间转换：将集合 $\{x \in \mathbb{R} \ | \ -3 < x \leq 5\}$ 用区间符号表示
函数定义判断：判断下列关系是否构成函数：
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ， $f(x) = \pm\sqrt{x^2+1}$
- $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ， $g(n) = 2n-1$
定义域确定：求函数 $h(x) = \sqrt{4-x} + \frac{1}{x^2-1}$ 的自然定义域
函数运算：设 $f(x) = \sqrt{x+2}$ ， $g(x) = \frac{1}{x}$ ，求：
- $(f+g)(x)$ 及其定义域
- $(fg)(x)$ 及其定义域
函数类型判断：分类下列函数：
- $f(x) = \frac{x^3-2x}{x^2+1}$
- $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
- $h(x) = |x| + \cos x$
单调性分析：证明 $f(x) = x^3 + 2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增
奇偶性判断：
- 验证 $f(x) = x^4 - 3x^2$ 是偶函数
- 证明 $g(x) = \sin x + x^3$ 是奇函数
函数分解：将 $f(x) = 2x^3 - 4x$ 分解为奇函数与偶函数之和
幂函数分析：当 $n$ 为何值时 $f(x) = x^n$ 满足：
- 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增
- 图像关于原点对称

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解：
- $B = \{1,2,3,4,5,6\}$
- $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}$
- $A \cap B = \{2,4,6\}$
- $B \setminus A = \{1,3,5\}$
解： $(-3, 5]$
解：
- 不是函数（单输入对应多输出）
- 是函数（每个整数对应唯一整数）
解：
- $4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
- $x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm1$
- 定义域： $(-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1,4]$
解：
- $(f+g)(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x}$
定义域： $x \neq 0$ 且 $x \geq -2$ → $[-2,0) \cup (0,+\infty)$
- $(fg)(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x}$ 定义域： $x \neq 0$ 且 $x \geq -2$ → $[-2,0) \cup (0,+\infty)$
解：
- 有理函数（多项式之比）
- 代数函数（含根式）
- 非代数函数（含三角函数）
证明：

f'(x) = 3x^2 + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \Rightarrow f(x) \text{在}\mathbb{R}\text{上严格递增}

解：
- $f(-x) = (-x)^4 -3(-x)^2 = x^4 -3x^2 = f(x)$
- $g(-x) = \sin(-x) + (-x)^3 = -\sin x -x^3 = -g(x)$
解：

\text{奇部} = \frac{f(x)-f(-x)}{2}=2x^3-4x,\qquad \text{偶部} = \frac{f(x)+f(-x)}{2}=0

因此 $f$ 本身是纯奇函数。