第1讲 函数和集合（Functions&Sets）

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一、集合基础#

1.1 集合定义与符号#

集合是由特定元素组成的整体，记作：

$A = \{x \ | \ x \text{ 满足某些性质}\}$

常见数集符号：

• $\mathbb{R}$：实数集

• $\mathbb{Q}$：有理数集

• $\mathbb{Z}$：整数集

• $\mathbb{N}$：自然数集（$\mathbb{Z}^+$）

• $\emptyset$：空集

区间表示：

• 闭区间：$[a, b] = \{x \ | \ a \leq x \leq b\}$

• 开区间：$(a, b) = \{x \ | \ a < x < b\}$

• 无限区间：$(a, +\infty) = \{x \ | \ x > a\}$

1.2 集合运算#

设 A，B 为集合：

• 并集：$A \cup B = \{x \ | \ x \in A \lor x \in B\}$

• 交集：$A \cap B = \{x \ | \ x \in A \land x \in B\}$

• 差集：$A \setminus B = \{x \ | \ x \in A \land x \notin B\}$

例：设 $A = \{1,3,5\}$，$B = \{2,3,4\}$

• $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$

• $A \cap B = \{3\}$

• $A \setminus B = \{1,5\}$

学习建议：用 Venn 图辅助理解集合运算

二、函数基础#

2.1 函数定义#

函数 $f: A \to B$ 满足：

1. 存在性：$\forall a \in A, \exists f(a) \in B$

2. 唯一性：每个 $a \in A$ 对应唯一的像

术语：

• 定义域：A

• 陪域：B

• 值域：$\{f(x) \ | \ x \in A\}$

默认规则：

• 未声明定义域时，取最大使函数有意义的集合

• 未声明陪域时，默认为 $\mathbb{R}$

2.2 函数图像#

函数图像是坐标点的集合：

$G(f) = \{(x, f(x)) \ | \ x \in A\} \subseteq \mathbb{R}^2$

例：$f(x) = x^2$ 的图像是抛物线

三、函数运算#

3.1 代数运算#

设 $f: A \to \mathbb{R}$，$g: B \to \mathbb{R}$

例：设$f(x) = \sqrt{x}$（定义域$[0,+\infty)$），$g(x) = 1/x$（定义域 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$）

• $(f+g)(x)$定义域为 $(0, +\infty)$

四、特殊函数类型#

4.1 有理函数与代数函数#

• 有理函数：$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P,Q$ 为多项式

• 代数函数：通过代数运算组合多项式得到

例：

• 有理函数：$f(x) = \frac{x^2+1}{x-3}$

• 代数函数：$f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

4.2 单调性#

• 增函数：$\forall x_1 < x_2 \in I$，有 $f(x_1) < f(x_2)$

• 减函数：$\forall x_1 < x_2 \in I$，有 $f(x_1) > f(x_2)$

例：

• $f(x) = 2x+1$ 在$\mathbb{R}$上严格递增

• $f(x) = -x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递减

4.3 奇偶函数#

• 偶函数：$f(-x) = f(x)$（关于 y 轴对称）

• 奇函数：$f(-x) = -f(x)$（关于原点对称）

重要定理： 任何定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数都可唯一分解为：

$f(x) = \underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}{\text{偶部}} + \underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}{\text{奇部}}$

例：

• 偶函数：$f(x) = x^2$

• 奇函数：$f(x) = x^3$

4.4 幂函数#

$f(x) = x^n$

• 当 $n$ 为奇数时是奇函数

• 当$n$为偶数时是偶函数

学习建议：

1. 通过绘制 $x^2, x^3$ 的图像理解奇偶性

2. 练习函数分解：将 $e^x$ 分解为奇偶部分