第2讲 极限（Limits） · 练习

1. 解：

   直接代入 $x=2$：

   $3(2)^2 - 2(2) + 5 = 12 - 4 + 5 = 13$

2. 解：

   因式分解分子：

   $\frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = x-3 \quad (x \ne 1)$

   极限值为：

   $1 - 3 = -2$

3. 解：

   左极限：

   $\lim_{x \to 0^-} (x^3 + 2) = 0 + 2 = 2$

   右极限：

   $\lim_{x \to 0^+} e^x = 1$

   注：该函数在 $x=0$ 处不连续

4. 解：

   分子分母同除 $x^3$：

   $\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{3}$

5. 证明：

   利用不等式：

   $-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$

   两边乘以 $x^2$（$x^2 > 0$）：

   $-x^2 \leq x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$

   由于 $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$，由夹逼定理得证

6. 推导：

   令 $m = \frac{n}{r}$，则：

   $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{mrt} = \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{rt} = e^{rt}$

   最终得：

   $A = Pe^{rt}$

学习建议：

1. 基础题重点掌握直接代入和因式分解技巧

2. 分段函数练习时建议先画数轴标注定义域

3. 证明题要明确写出夹逼定理的三个组成部分

4. 金融推导注意极限变量的替换技巧（如第6题令$m = n/r$）