第4讲 导数（Derivatives）

导数是金融数学的核心工具之一，它能帮助我们分析资产价格变化率、边际收益、风险敏感度等关键指标。本讲将系统介绍导数的概念及应用方法。

1. 导数的定义与几何意义#

1.1 导数的定义#

设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $a$ 处取得增量 $h$ 时，若极限

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

存在，则称 $f(x)$ 在点 $a$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在 $a$ 处的导数。记作：

\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = f'(a) = D_x f(a)

等价定义：导数也可表示为

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

物理意义：描述瞬时变化率，如瞬时速度、加速度等

几何意义：表示曲线在该点的切线斜率

1.2 切线方程#

函数 $y=f(x)$ 在点 $(a, f(a))$ 处的切线方程为：

y = f'(a)(x - a) + f(a)

示例：求 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线方程

解：首先计算导数

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

所以 $f'(1) = 2$ ，故切线方程为：

$y = 2(x-1) + 1 = 2x -1$

1.3 可导性与连续性#

重要关系：

可导 ⇒ 连续（若函数在一点可导，则它在该点必定连续）
连续 ⇏ 可导（函数在一点连续，不一定在该点可导）

不可导的典型情况：

尖点（cusp）：如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处
垂直切线：如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处
跳跃间断点：如 $f(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处

金融应用：资产价格图表中的不可导点往往表示重要的市场转折或异常事件。

2. 求导法则#

2.1 基本导数公式#

常数与变量的导数：

\frac{d}{dx}[c] = 0, 其中C为常数

\frac{d}{dx}[x]= 1

基本函数的导数：

幂函数：

\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}

其中 $n$ 为任意实数

指数函数：

\frac{d}{dx}[e^x] = e^x

\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a

对数函数：

\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}

\frac{d}{dx}[\log_a x] = \frac{1}{x \ln a}

三角函数：

\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x

\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x

\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

2.2 求导基本法则#

设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是可导函数， $c$ 是常数：

常数倍法则：

\frac{d}{dx}[c \cdot u(x)] = c \cdot u'(x)

和差法则：

\frac{d}{dx}[u(x) \pm v(x)] = u'(x) \pm v'(x)

乘积法则：

\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

商法则：

\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}

其中 $v(x) \neq 0$

示例：求 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ 的导数

解：使用商法则

f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x-2)^2}

2.3 链式法则#

设 $y = g(x)$ 且 $z = f(y)$ ，则复合函数的导数为：

\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}

记忆口诀："外导乘内导"（外层函数的导数乘以内层函数的导数）

示例：求 $y = \sin(2x^3)$ 的导数

解：

\frac{dy}{dx} = \cos(2x^3) \cdot 6x^2 = 6x^2 \cos(2x^3)

2.4 隐函数求导#

对方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ ，求导步骤：

方程两边对 $x$ 求导
将含 $\frac{dy}{dx}$ 的项整理到等式一边
解出 $\frac{dy}{dx}$

示例：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线斜率

解：对方程两边求导

2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

在 $(3,4)$ 处：

\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}

2.5 对数求导法#

对于复杂的乘除幂指函数，可以先取对数再求导：

两边取自然对数：

\ln y = \ln f(x)

对 $x$ 求导：

\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\ln f(x)]

解出

\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}[\ln f(x)]

示例：求 $y = x^x$ 的导数

解：两边取对数

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

对 $x$ 求导

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

因此

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$

拓展延伸

在等式 $\ln(x^x) = x \ln x$ 中：

左边是 $x^x$ 的自然对数。右边是将对数的幂运算性质应用于此情况。

根据对数的性质，对于任意正数 $a$ 和任意实数 $b$ ，有：

\ln(a^b) = b \ln a

在这里，底数 $a = x$ ，指数 $b = x$ ，所以：

\ln(x^x) = x \ln x

3. 高阶导数#

3.1 定义与记号#

二阶导数：

f''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y}{dx^2}

n阶导数：

f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n} = D_x^n f(x)

3.2 典型函数的高阶导数#

幂函数： $f(x) = x^m$ ，其中 $m$ 为常数

f^{(n)}(x) = \begin{cases} \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} & m \geq n \\ 0 & m < n \end{cases}

指数函数： $f(x) = e^{ax}$

f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}

正弦函数： $f(x) = \sin(ax)$

f^{(n)}(x) = a^n \sin\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)

余弦函数： $f(x) = \cos(ax)$

f^{(n)}(x) = a^n \cos\left(ax + \frac{n\pi}{2}\right)

金融应用：二阶导数在分析资产价格曲线的凸凹性、加速变化等方面有重要应用。

3.3 高阶导数与微分方程#

高阶导数常出现在微分方程中，如：

f''(x) + a f'(x) + b f(x) = 0

示例：验证 $f(x)=\sin x$ 满足微分方程 $f''(x) + f(x) = 0$

解：

$f'(x) = \cos x,\ f''(x) = -\sin x$ 代入微分方程：

$-\sin x + \sin x = 0$ 等式成立，验证成功。

4. 导数的金融应用#

4.1 边际分析#

边际成本（Marginal Cost）：

MC(x) = C'(x)

表示多生产一单位产品所增加的成本

边际收益（Marginal Revenue）：

MR(x) = R'(x)

表示多销售一单位产品所增加的收益

边际利润（Marginal Profit）：

MP(x) = P'(x) = R'(x) - C'(x)

利润最大化条件： $MR(x) = MC(x)$ ，即 $R'(x) = C'(x)$

4.2 资产价格变化#

若资产价格函数为 $P(t)$ ，则：

价格变化率（Rate of Change）：

P'(t)

价格加速度（Acceleration）：

P''(t)

示例：某资产价格变化满足 $P(t)=100e^{0.05t}$ ，求 $t=5$ 时的瞬时变化率

解：

$P'(t) = 100 \times 0.05 \times e^{0.05t} = 5e^{0.05t}$ 在 $t=5$ 时：

$P'(5) = 5e^{0.25} \approx 6.41 \text{ 单位/时间}$

4.3 弹性分析#

需求函数的价格弹性（Price Elasticity of Demand）：

E_p = -\frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp}

其中 $p$ 为价格， $q$ 为需求量。

解释：

$|E_p| > 1$ ：需求富有弹性（需求量变化比例大于价格变化比例）
$|E_p| < 1$ ：需求缺乏弹性（需求量变化比例小于价格变化比例）
$|E_p| = 1$ ：单位弹性（需求量变化比例等于价格变化比例）

5. 微分与近似计算#

5.1 微分的定义#

函数 $y=f(x)$ 的微分定义为：

dy = f'(x)dx

其中 $dx$ 是自变量 $x$ 的微小变化量。

5.2 线性近似#

函数 $f(x)$ 在点 $a$ 附近的线性近似（一阶泰勒展开）：

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)

应用：计算复杂函数在特定点附近的近似值

示例：用线性近似估计 $\sqrt{17}$

解：选择 $f(x) = \sqrt{x}$ ， $a = 16$ ， $x = 17$

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}，f'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{8}

线性近似：

\sqrt{17} \approx \sqrt{16} + \frac{1}{8}(17-16) = 4 + \frac{1}{8} = 4.125

（实际值约为 4.123）

学习建议#

概念与几何理解：
- 将导数视为切线斜率和变化率，建立直观认识
- 使用图形计算器或软件（如Desmos）绘制函数及其导数
计算技巧：
- 制作导数公式速查表，熟记常见函数的导数
- 解题前先判断应用哪种求导法则
- 复杂函数可考虑分解为简单函数的组合
练习策略：
- 从基本计算开始，逐步过渡到复杂问题
- 多做不同类型的例题，培养解题思路
- 尝试从不同角度（代数、几何、物理）理解导数
- 导数计算需熟练掌握至少20个典型例题
- 高阶导数练习时注意寻找规律，可使用数学归纳法验证猜想
应用拓展：
- 尝试将导数应用到实际金融模型中
- 关注导数在优化问题中的应用
- 将所学知识与后续的积分、微分方程等内容建立联系