第8讲 积分应用（Appl. of Integrals） · 练习

1. 解：

   使用圆盘法：

   $V = π\int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = π\int_{0}^{4} x dx = π\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8π$

2. 解：

   使用壳层法（反函数 $x = y^{1/3}$）：

   $V = 2π\int_{0}^{2} x(x^3) dx = 2π\int_{0}^{2} x^4 dx = 2π\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{64π}{5}$

3. 解：

   交点 $x=0,1$，Washer法：

   外半径 $R = x$，内半径 $r = x^2$

   $V = π\int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx = π\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2π}{15}$

4. 解：

   导数 $f'(x) = x^{1/2}$

   $L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x} dx = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{14}{3}$

5. 解：

   $\frac{dx}{dt} = 2t,\ \frac{dy}{dt} = 3t^2$

   $L = \int_{0}^{1} \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} dt = \int_{0}^{1} t\sqrt{4 + 9t^2} dt = \frac{1}{27}(13^{3/2} - 8)$

6. 解：

   导数 $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$

   $A = 2π\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}·\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} dx = 2πr\int_{-r}^{r} dx = 4πr^2$

7. 方法对比：

   Disk法：

   $V = π\int_{1}^{3} (\sqrt{y})^2 dy = π\left[\frac{y^2}{2}\right]1^3 = 4π$Shell法：$V = 2π\int{1}^{\sqrt{3}} x(3 - x^2) dx = 2π\left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_1^{\sqrt{3}} = 4π$

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学习提示：

1. 第3题注意识别内外半径

2. 第6题验证经典几何体公式时注意积分技巧

3. 方法对比题展现不同积分变量选择对计算量的影响

4. 参数方程求导后注意保持积分变量的统一性