第7讲 反函数和积分（Inverse Functions & Integration） · 练习

一、反函数与导数#

1. 解：

   • 由 $f(1) = 2(1) + \ln 1 = 2$ 知 $f^{-1}(2) = 1$

   • 计算导数：$f'(x) = 2 + \frac{1}{x}$

   • 代入公式：$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

   • 答案：$\boxed{\dfrac{1}{3}}$

2. 证明：

   假设$g(a) = g(b)$，则：

   $a^3 + a = b^3 + b \Rightarrow a^3 - b^3 + a - b = 0$

   因式分解得：

   $(a-b)(a^2 + ab + b^2 + 1) = 0$

   由于 $a^2 + ab + b^2 + 1 ≥ \frac{3}{4}(a+b)^2 + 1 > 0$

   故必有 $a = b$，即 $g(x)$ 是单射函数

---

二、积分计算#

1. 解：

   分解分母：$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$

   设$\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$

   解得 $A=1,\ B=2$

   积分得：

   $\int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} \right) dx = \ln|x+1| + 2\ln|x+3| + C$

   答案：$\boxed{\ln|x+1| + 2\ln|x+3| + C}$

2. 解：

   令 $x = 3\sin\theta$，则 $dx = 3\cos\theta d\theta$

   原式变为：

   $\int \sqrt{9-9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta d\theta = 9\int \cos^2\theta d\theta$ 用公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ 积分得：

   $\frac{9}{2}\left( \theta + \frac{\sin2\theta}{2} \right) + C$ 回代 $\theta = \arcsin(x/3)$，最终得：

   答案：$\boxed{\dfrac{9}{2}\arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + \dfrac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + C}$

3. 解：

   令 $u = e^x$，则$du = e^x dx$

   原式变为：

   $\int \frac{u}{1+u} du = \int \left( 1 - \frac{1}{1+u} \right) du = u - \ln|1+u| + C$

   回代得：

   答案：$\boxed{e^x - \ln(1+e^x) + C}$

---

三、微分技巧#

1. 解：

   取对数：$\ln y = 2\ln x + \ln\sin x + 2x$

   两边求导：

   $\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \cot x + 2$ 最终导数：

   答案：$\boxed{x^2 \sin x e^{2x} \left( \dfrac{2}{x} + \cot x + 2 \right)}$

2. 解：

   取对数：$\ln y = x\ln\sin x$

   隐函数求导：

$$\frac{y'}{y} = \ln\sin x + x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow y' = (\sin x)^x (\ln\sin x + x\cot x)$$

答案：$\boxed{(\sin x)^x (\ln\sin x + x\cot x)}$

3. 解：

   使用导数公式：

   $\frac{d}{dx} \sinh^{-1}(x^2) = \frac{1}{\sqrt{(x^2)^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}}$

   答案：$\boxed{\dfrac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}}}$

---

学习建议：

1. 积分题建议先判断积分类型（有理函数/根式替换/特殊形式）

2. 求导时注意对数微分法的适用场景（乘积/幂指/复杂表达式）

3. 反函数相关问题要熟练掌握$f(f^{-1}(x)) = x$ 的隐函数求导技巧