第2讲 极限（Limits）

1. 极限基础与金融应用#

1.1 极限的直观理解#

在金融数学中，极限概念（Limit）是刻画变量趋近某个值时函数行为的基础工具。当我们分析利率变化、连续复利、期权定价等问题时，极限理论提供了必要的数学框架。

极限的一般形式：

\lim_{x \to a} f(x) = L

这表示当变量 $x$ 无限接近（但不等于） $a$ 时，函数 $f(x)$ 无限接近值 $L$ 。

金融案例：考虑连续复利中的基本极限：

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n = e^r

这一极限解释了为什么连续复利的计算公式中会出现自然指数 $e$ 。

1.2 ε-δ 定义#

极限的严格定义如下：

\lim_{x \to a} f(x) = L

当且仅当对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \varepsilon$ 。

直观解释：

$\varepsilon$ 表示函数值 $f(x)$ 与极限 $L$ 的允许误差
$\delta$ 表示自变量 $x$ 与 $a$ 的距离阈值
无论误差要求多么严格（ $\varepsilon$ 多么小），总能找到一个足够小的 $\delta$ ，使得当 $x$ 在 $a$ 附近时， $f(x)$ 能落在 $L$ 附近

学习建议：初学者不必过分纠结于 ε-δ 的严格证明，先建立直观理解，随着学习深入再逐步掌握严格定义。

1.3 基础例题#

计算： $\lim_{x \to 3} (2x + 1)$

解：

当 $x$ 接近 3 时，直接代入得： $2(3) + 1 = 7$

学习建议：

理解 $\varepsilon$ - $\delta$ 定义的核心是把握"任意接近"的量化表达，建议通过几何画板观察 $\varepsilon$ 与 $\delta$ 的联动关系。

2. 极限运算法则#

2.1 基本法则#

假设 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ， $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ，则：

常数倍法则：

\lim_{x \to a} [cf(x)] = cL \quad (c \in \mathbb{R})

加减法则：

\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M

乘法法则：

\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM

除法法则（当 $M \neq 0$ 时）：

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}

5. 复合函数法则：若 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ 且 $\lim_{y \to M} h(y) = N$ ，则

\lim_{x \to a} [h(g(x))] = \lim_{y \to M} h(y) = N

其中，h(g(x))是复合函数（h和g的复合）。这个法则告诉我们，在计算复合函数的极限时，可以先计算内层函数的极限，再计算外层函数在该点的极限。

2.2 分式极限的处理#

当分母趋于零时，直接代入法不适用，需要通过代数变形消除分母中的零因子。

例题：计算 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$

解：分子进行因式分解：

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$

代入原式：

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-3)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x-3) = -2$

金融案例：金融投资瞬时回报率的计算设初始投资金额为P，在时间t后资产价值为A(t)。瞬时回报率可以通过以下极限计算：

\lim_{t \to 0} \frac{A(t)-A(0)}{t} \cdot \frac{1}{P}

这里A(0) = P，该极限实际上是资产价值函数A(t)对时间t的导数除以初始投资额P。

这个公式的经济学意义是：

分子A(t)-P表示投资收益
t表示时间间隔
P为初始投资额
整体表达了单位时间内的投资回报变化率

拓展延伸：总回报率和瞬时回报率的关系

在金融中，不同的回报率定义有不同的意义：

总回报率： $\frac{A(t)-P}{P}$ ，表示投资期间的总回报率（相对于初始投资的增长比例）
瞬时回报率： $\lim_{t \to 0} \frac{A(t)-P}{tP}$ ，除以t的原因是：

这里除以t是为了计算单位时间内的回报率。当我们考虑瞬时回报率时，关注的是"每单位时间的回报率"，而不仅仅是总回报率。

数学解释：

$\frac{A(t)-P}{P}$ 是总回报率
$\frac{A(t)-P}{tP}$ 是平均每单位时间的回报率
当t趋近于0时，我们得到的就是瞬时回报率

这类似于从平均速度到瞬时速度的转换：总距离除以总时间得到平均速度，而当时间间隔趋近于0时，就得到了瞬时速度。

在金融分析中，这个瞬时回报率实际上对应于连续复利情况下的收益率。

3. 单侧极限与无穷极限#

3.1 左极限与右极限#

在很多金融模型中，函数可能在某点不连续（如税率变化点、期权行权点等）。此时需要考察单侧极限：

左极限： $\lim_{x \to a^-} f(x)$ 表示 $x$ 从左侧接近 $a$ 时的极限
右极限： $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 表示 $x$ 从右侧接近 $a$ 时的极限

当且仅当左右极限都存在且相等时，才有 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，且等于左右极限的共同值。

例题：考虑分段函数

f(x) = \begin{cases} x^3 + 2 & x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}

求 $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ 和 $\lim_{x \to 0^+} f(x)$

解：左极限： $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^3 + 2) = 0^3 + 2 = 2$ 右极限： $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^x = e^0 = 1$

由于左右极限不相等，函数在 $x=0$ 处不连续。

金融应用：税率阶梯函数、期权收益结构等都是典型的分段函数，需要分析各临界点的单侧极限来判断函数的连续性。

3.2 当自变量趋于无穷#

当研究长期投资趋势、债券定价等问题时，我们关心当时间趋于无穷时的极限行为。

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

表示当 $x$ 无限增大时， $f(x)$ 趋近于值 $L$ 。

例题：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x}{3x^3 + x^2 + 4}$

解：分子分母同除以最高次项 $x^3$ ：

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x}{3x^3 + x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{3}$

金融应用：

贴现现金流的现值计算
永续年金的估值
长期投资组合的风险-收益比

3.3 夹逼定理与估值#

夹逼定理（Squeeze Theorem）是处理复杂极限的有力工具：如果对于所有 $x$ 接近 $a$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ，并且 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ ，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 。

例题：证明 $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

证明：利用不等式 $-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$ ，两边乘以 $x^2$ （当 $x$ 接近0时， $x^2 > 0$ ）：

-x^2 \leq x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2

由于 $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$ ，根据夹逼定理：

$\lim_{x \to 0} x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

金融应用：在估计期权波动性、评估市场风险等场景，经常需要对复杂函数进行边界估计。

4. 连续复利与指数极限#

4.1 连续复利公式推导#

连续复利是金融数学中极限应用的经典案例。

已知按年复利 $n$ 次的终值公式：

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

其中：

$P$ 是本金（Principal）
$r$ 是年利率（Rate）
$t$ 是投资时间（Time，单位是年）
$n$ 是每年复利次数

当 $n \to \infty$ 时，我们得到连续复利：

A = P\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

推导：令 $m = \frac{n}{r}$ ，则 $\frac{r}{n} = \frac{1}{m}$ ，且当 $n \to \infty$ 时， $m \to \infty$ 。代入上式：

\begin{align} A &= P\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \\ &= P\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{mrt} \\ &= P\left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{rt} \\ &= Pe^{rt} \end{align}

这里用到著名的极限： $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$

在极限过程中，n被完全"吸收"到了e的定义中，表明无论选择多大的复利次数，当复利次数趋于无穷时，增长模式最终都会收敛到相同的指数增长公式 $Pe^{rt}$ 。这正是连续复利的本质。

4.2 金融应用拓展#

连续复利公式 $A = Pe^{rt}$ 在金融数学中有广泛应用：

债券定价：使用连续复利计算债券的现值
期权定价：Black-Scholes模型中假设资产价格服从几何布朗运动，其中包含连续复利因子
风险管理：计算风险价值(VaR)时使用连续复利收益率

学习建议：

掌握连续复利的推导过程，理解为什么自然指数 $e$ 在金融数学中如此重要
练习连续复利与离散复利的转换计算
熟悉金融软件中的连续复利计算函数

5. 练习与提升#

5.1 基础练习#

练习1：使用直接代入法计算 $\lim_{x \to 3} (5x^2 - 2x + 7)$

练习2：计算分式极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

练习3：判断函数

f(x) = \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

在 $x=0$ 处是否连续。

5.2 金融应用练习#

练习4：某投资按连续复利计息，年利率为4%。本金为10,000元，求3年后的终值。

练习5：假设股票价格遵循几何布朗运动，其连续复利收益率的均值为8%，波动率为20%。使用对数正态分布，估算一年后股票价格超过当前价格30%的概率。

学习建议：

掌握极限计算的核心技巧：直接代入、因式分解、通分化简
结合实际金融案例理解极限概念的应用
定期复习基础定义和公式，建立扎实的数学基础
通过解决实际问题提升极限思维在金融分析中的应用能力

扩展阅读#

《金融数学基础》（Foundations of Financial Mathematics）
《期权、期货及其他衍生品》（Options, Futures and Other Derivatives）中的数学基础章节
《量化金融》（Quantitative Finance）中关于连续复利的部分