第10讲 公式专项

代数工具#

基本不等式#

三角不等式：

|a + b| \leq |a| + |b| \quad \forall a,b \in \mathbb{R}

几何解释：

在数轴上，两数之和的绝对值不超过各自绝对值的和。当a和b同号时取等号。

例子：

验证当a=3, b=-2时：

$|3 + (-2)| = 1 \leq 5 = |3| + |-2|$

二项式定理#

定理表达式：

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

其中组合数：

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

记忆技巧：

各项次数之和恒为n，系数符合杨辉三角排列

例子：

展开 $(x + y)^3$ ：

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

因式分解技巧#

高次多项式分解#

基础公式：

a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})

特殊情形：

立方差：

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

立方和：

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

例子：

分解8x³ - 27：

$= (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$

三角函数工具#

重要不等式#

当x ∈ (0, π/2)时：

$\sin x < x < \tan x$

几何证明：

比较单位圆中的弧长、正弦线和切线长度

恒等式#

三角转换公式：

\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{\tan^2 \theta + 1}}

应用场景：

在涉及期权定价的三角函数转换时特别有用

微积分基础#

导数公式表#

函数	导数
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sin^{-1} f(x)$	$\frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}, \quad$
$\cos^{-1} f(x)$	$-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}, \quad$
$\tan^{-1} f(x)$	$\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$
$\cot^{-1} f(x)$	$-\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$
$\sec^{-1} f(x)$	$\frac{f'(x)}{\\|f(x)\\|\sqrt{[f(x)]^2-1}}$
$\csc^{-1} f(x)$	$-\frac{f'(x)}{\\|f(x)\\|\sqrt{[f(x)]^2-1}}$

例子：

求导 $y = \tan^{-1}(3x)$ ：

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + 9x^2}$

积分公式表#

函数	积分
$\tan x$	$\ln(\sec x)，其中 \\|x\\| < \frac{\pi}{2}$
$\cot x$	$\ln(\sin x)，其中 0 < x < \pi$
$\csc x$	$-\ln(\csc x + \cot x)，其中 0 < x < \pi$
$\sec x$	$\ln(\sec x + \tan x)，其中 \\|x\\| < \frac{\pi}{2}$

计算示例：

$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C \quad (0 < x < \pi)$

学习建议#

每日练习：选择2-3个公式进行推导验证
可视化工具：使用Desmos等工具观察三角不等式的几何意义
应用练习：尝试用二项式定理展开 $(1+i)^n$ ，i为虚数单位
错题整理：记录积分计算中的常见错误（如忽略积分常数）

建议每周完成10道微积分练习题，巩固公式记忆