练习题# 用导数定义求f(x)=3x2−2xf(x)=3x^2-2xf(x)=3x2−2x在x=2x=2x=2处的导数 求函数y=1xy = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1的一阶导数 计算y=cos(3x2)y = \cos(3x^2)y=cos(3x2)的导数 求曲线y=3x+1y=\sqrt{3x+1}y=3x+1在x=1x=1x=1处的切线方程 隐函数求导：已知x3+y3=6xyx^3 + y^3 = 6xyx3+y3=6xy，求dydx\frac{dy}{dx}dxdy 求f(x)=ln(2x3+1)f(x) = \ln(2x^3+1)f(x)=ln(2x3+1)的导数 某资产价格变化满足P(t)=100e0.05tP(t)=100e^{0.05t}P(t)=100e0.05t，求t=5时的瞬时变化率 求函数f(x)=x4f(x) = x^4f(x)=x4的四阶导数 证明：若y=e2xy = e^{2x}y=e2x，则y′′−4y=0y'' - 4y = 0y′′−4y=0 求椭圆x29+y24=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 19x2+4y2=1在点(2, 423\frac{4\sqrt{2}}{3}342)处的切线斜率 查看答案＋ 解： f′(2)=limh→03(2+h)2−2(2+h)−(3×4−4)h=10f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{3(2+h)^2 -2(2+h) - (3×4 -4)}{h} = 10f′(2)=limh→0h3(2+h)2−2(2+h)−(3×4−4)=10 解： y=x−1/2⇒dydx=−12x−3/2=−12x3/2y = x^{-1/2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x^{3/2}}y=x−1/2⇒dxdy=−21x−3/2=−2x3/21 解（链式法则）： dydx=−sin(3x2)×6x=−6xsin(3x2)\frac{dy}{dx} = -\sin(3x^2) × 6x = -6x\sin(3x^2)dxdy=−sin(3x2)×6x=−6xsin(3x2) 解： y′=323x+1⇒y′(1)=34y' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} \Rightarrow y'(1) = \frac{3}{4} \\y′=23x+13⇒y′(1)=43切线方程：y=34(x−1)+2=34x+54y = \frac{3}{4}(x-1) + 2 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y=43(x−1)+2=43x+45 解： 3x2+3y2y′=6y+6xy′整理得y′=2y−x2y2−2x3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y' \\ 整理得 y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}3x2+3y2y′=6y+6xy′整理得y′=y2−2x2y−x2 解： f′(x)=6x22x3+1f'(x) = \frac{6x^2}{2x^3+1}f′(x)=2x3+16x2 解： P′(t)=100×0.05e0.05tP′(5)=5e0.25≈6.41（单位/时间）P'(t) = 100×0.05e^{0.05t} \\ P'(5) = 5e^{0.25} \approx 6.41 \text{（单位/时间）}P′(t)=100×0.05e0.05tP′(5)=5e0.25≈6.41（单位/时间） 解： f(4)(x)=d4dx4x4=4!=24f^{(4)}(x) = \frac{d^4}{dx^4}x^4 = 4! = 24f(4)(x)=dx4d4x4=4!=24 证明： y′=2e2x, y′′=4e2xy′′−4y=4e2x−4e2x=0y' = 2e^{2x},\ y'' = 4e^{2x} \\ y'' -4y = 4e^{2x} -4e^{2x} = 0y′=2e2x, y′′=4e2xy′′−4y=4e2x−4e2x=0 解： 2x9+2yy′4=0⇒y′=−4x9y代入点坐标：y′=−4×29×(42/3)=−23\frac{2x}{9} + \frac{2y y'}{4} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y} \\ 代入点坐标：y' = -\frac{4×2}{9×(4\sqrt{2}/3)} = -\frac{\sqrt{2}}{3}92x+42yy′=0⇒y′=−9y4x代入点坐标：y′=−9×(42/3)4×2=−32 学习建议# 每天练习5-10道不同题型的导数计算 对错误题目建立错题本，分析错误类型 尝试用不同方法验证答案（如图形验证、数值估算等）