第5讲 微分应用（Appl. of Differentiation）

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1. 函数的极值#

1.1 全局极值与局部极值#

基本定义：

• 全局最大值 在c点：

  $f(c) ≥ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$

• 全局最小值 在c点：

  $f(c) ≤ f(x) \quad 对定义域D中所有x成立$

• 局部最大值 在c点：

  $f(c) ≥ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$

• 局部最小值 在c点：

  $f(c) ≤ f(x) \quad 在c点附近的开区间成立$

金融案例：

投资组合收益曲线中的最高点（全局最大）代表最优投资方案，短期波动中的高点（局部最大）可能提示卖出时机。

1.2 极值定理#

定理内容：

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则：

1. f必定在区间上取得全局最大/最小值

2. 极值点只可能出现在：

   • 临界点（导数为零或不存在的点）

   • 区间端点

临界点判定：

示例：

分析函数$f(x) = x^3 - 12x$在[-3,5]的极值：

1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 12$

2. 解方程 $3x^2 - 12 = 0 → x = ±2$

3. 比较端点与临界点函数值：

   $f(-3)= -27, \ f(-2)=16, \ f(2)= -16, \ f(5)=65$

2. 核心微分定理#

2.1 费马定理#

定理陈述：

若f在c点取得局部极值，则：

1. c必定是临界点

2. 若f在c点可导，则 $f'(c) = 0$

证明思路：

假设c为极大值点，当h趋近于0时：

• 右导数：$\lim_{h→0^+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} ≤ 0$

• 左导数：$\lim_{h→0^-} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} ≥ 0$

• 因此必须 $f'(c) = 0$

2.2 中值定理（MVT）#

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定理内容：

若函数f满足：

1. 在[a,b]连续

2. 在(a,b)可导

则存在c∈(a,b)使得：

金融应用：

在固定收益证券分析中，用于验证利率曲线的平滑性，确保存在某个时间点的瞬时利率等于平均利率。

3. 曲线特性分析#

3.1 一阶导数检验法#

操作步骤：

1. 确定所有临界点

2. 绘制符号变化表：

   • (+)转(-)：局部极大

   • (-)转(+)：局部极小

   • 符号不变：非极值点

案例：

分析$f(x) = x^4 - 8x^2$：

• 临界点：$x=0, x=±2$

• 符号分析：

  • x<-2时：f' < 0

  • (-2,0)：f' > 0

  • (0,2)：f' < 0

  • x>2时：f' > 0 结论：x=-2和x=2为极小值，x=0为极大值

3.2 凹凸性与拐点#

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函数的凹凸性解释：

• 凹函数（concave down 或简称 concave）：当函数图像向下弯曲时，我们称该函数为凹函数。这意味着函数图像位于任意两点之间的切线下方。

• 凸函数（concave up 或称为 convex）：当函数图像向上弯曲时，我们称该函数为凸函数。这意味着函数图像位于任意两点之间的切线上方。

从数学角度看，凹凸性可以通过函数的二阶导数来判断：

• 当二阶导数为正时（f''(x) > 0），函数凸（向上弯曲）

• 当二阶导数为负时（f''(x) < 0），函数凹（向下弯曲）

拐点： 凹凸性发生改变的点

这个概念在微积分和优化理论中非常重要，因为它帮助我们理解函数的形状和变化趋势。

典型案例：

期权价格曲线：

• 平值期权附近呈现上凸性（Gamma正）

• 深度实值/虚值区域接近线性

4. 高阶应用工具#

4.1 泰勒展开#

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多项式展开式：

余项公式：

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金融应用：

1. 欧式期权Delta近似：

2. 风险因子敏感性分析

4.2 洛必达法则#

应用条件：

当极限形式为$( \frac{0}{0} )$或$( \frac{∞}{∞} )$时：

计算示例：

求极限$( \lim_{x→0} \frac{ln(1+3x)}{sin2x} )$：

1. 验证形式：0/0型

2. 应用法则：

5. 学习路径建议#

循序渐进四步法：

1. 基础巩固：

   • 掌握导数计算规则

   • 练习临界点判定（建议完成20+练习题）

2. 几何理解：

   • 使用Desmos等工具绘制函数图像

   • 观察导数符号与曲线形态的关系

3. 金融建模：

   • 分析期权价格曲线的极值与凹凸性

   • 用泰勒展开近似VAR（风险价值）计算

4. 扩展提升：

   • 研究Black-Scholes方程的微分特性

   • 探索利率期限结构的微分方程模型

典型错误防范：

• 混淆局部极值与全局极值 → 记住要比较所有临界点和端点

• 误用洛必达法则 → 每次使用前必须验证条件

• 忽略拐点的二阶导验证 → 必须保证f''(x)在拐点两侧变号

实践项目建议：

构建股票价格波动模型，通过微分法确定最佳买卖点，并计算相应风险敞口。