统计第1讲：概率基础 | Probability · 练习

1. 期望与方差#

解答：

1. 所有可能的和及其概率：

   • 和为2: 概率 $1/36$, 和为3: $2/36$, ..., 和为12: $1/36$

   • $E(X) = \sum_{k=2}^{12} k \cdot P(X=k) = 7$

2. 计算 $E(X^2)$:

   $E(X^2) = \sum_{k=2}^{12} k^2 \cdot P(X=k) \approx 54.83$

   $\text{var}(X) = 54.83 - 7^2 = 5.83$

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2. 协方差计算#

解答：

1. 边际分布：

   $E(X) = 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5 = 0.5$

   $E(Y) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.7 = 0.7$

2. 计算 $E(XY)$:

   $E(XY) = (0\cdot0)\cdot0.2 + (0\cdot1)\cdot0.3 + (1\cdot0)\cdot0.1 + (1\cdot1)\cdot0.4 = 0.4$

3. $\text{cov}(X,Y) = 0.4 - 0.5 \cdot 0.7 = 0.05$

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3. 投资组合标准差#

解答：

组合方差：

$$\begin{align*} \text{var}(Z) &= 0.5^2 \cdot 0.04 + 0.5^2 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.015 \\ &= 0.01 + 0.0225 + 0.0075 = 0.04 \end{align*}$$

标准差：$\sqrt{0.04} = 0.2$

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4. 蒙特卡洛积分#

解答：

1. 步骤：

   • 生成 $N$ 个均匀随机数 $x_i \sim U(0,1)$

   • 计算平均值 $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2$

2. 有效性：由LLN，当 $N \to \infty$ 时，平均值收敛于 $E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = 1/3$

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5. 独立性与协方差#

解答：

1. 计算边际密度：

   $f_X(x) = \int_0^x 2x dy = 2x^2$

   $f_Y(y) = \int_y^1 2x dx = 1 - y^2$

   由于 $f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，变量不独立

2. 计算协方差：

   $E(X) = \int_0^1 x \cdot 2x^2 dx = 0.5$

   $E(Y) = \int_0^1 y(1 - y^2) dy = \frac{1}{4}$

   $E(XY) = \int_0^1 \int_0^x xy \cdot 2x\,dy\,dx = \frac{1}{5}$

   $\text{cov}(X,Y) = \frac{1}{5} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{40}=0.075$