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数理基础统计推断（Statistical Inference） · 统计第1–10讲10/10模块导览 →
讲义

统计第10讲：拟合优度检验 | Goodness-of-Fit

介绍似然比拟合优度检验，并通过多项分布、列联表和正态模型说明检验统计量与自由度的确定。

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本文目录 · 13 节

一、基本概念与似然比检验原理#

1.1 拟合优度检验的目的#

拟合优度检验用于评估观察数据与理论模型的匹配程度。通过比较两个嵌套模型(nested models)的拟合效果，判断简单模型是否足以描述数据。

关键术语：

  • 似然比检验 Likelihood Ratio (LR) Test

  • 卡方分布 χ² Distribution

  • 自由度 Degrees of Freedom

1.2 似然比检验步骤#

假设：

  • 大模型（备择假设）参数空间维度：k₁

  • 小模型（原假设）参数空间维度：k₀

检验统计量：

G=2log⁡(L1L0)=2(log⁡L1−log⁡L0)G = 2 \log\left(\frac{L_1}{L_0}\right) = 2(\log L_1 - \log L_0)

其中：

  • L1L_1为备择假设下的最大似然值

  • L0L_0为原假设下的最大似然值

当样本量足够大时，GG服从卡方分布：

G∼χk1−k02G \sim \chi^2_{k₁ - k₀}

学习建议：理解参数空间维度差异与自由度的关系。例如当比较三维多项式分布与HWE模型时，自由度差为2-1=1。

二、多项分布案例：Hardy-Weinberg平衡检验#

2.1 问题设定#

假设基因型观测数据服从三项分布：

(X1,X2,X3)∼Trinomial(n,p1,p2,p3)(X_1, X_2, X_3) \sim \text{Trinomial}(n, p_1, p_2, p_3)
  • *Hardy-Weinberg平衡(HWE)**假设：
{p1=(1−θ)2p2=2θ(1−θ)p3=θ2\begin{cases} p_1 = (1-\theta)^2 \\ p_2 = 2\theta(1-\theta) \\ p_3 = \theta^2 \end{cases}

2.2 似然值计算#

一般模型（无约束）：

极大似然估计：

p^i=Xin\hat{p}i = \frac{X_i}{n}

对数似然： *

log⁡L1=∑i=13Xilog⁡(Xin)\log L_1 = \sum{i=1}^3 X_i \log\left(\frac{X_i}{n}\right)

HWE模型（约束模型）：

极大似然估计：

θ^=X2+2X32n\hat{\theta} = \frac{X_2 + 2X_3}{2n}

对数似然：

log⁡L0=∑i=13Xilog⁡pi(θ^)\log L_0 = \sum_{i=1}^3 X_i \log p_i(\hat{\theta})

示例：假设观测到(X1,X2,X3)=(25,50,25)(X_1,X_2,X_3)=(25,50,25)，则：

θ^=50+2×25200=0.5log⁡L0=25log⁡(0.25)+50log⁡(0.5)+25log⁡(0.25)\hat{\theta} = \frac{50 + 2×25}{200} = 0.5 \\ \log L_0 = 25\log(0.25) + 50\log(0.5) + 25\log(0.25)

三、独立性检验：列联表分析#

3.1 检验原理#

对于I×JI×J列联表数据：

(Xij)∼Multinomial(n,{pij})(X_{ij}) \sim \text{Multinomial}(n, \{p_{ij}\})

原假设：行变量与列变量独立

即存在{qi},{rj}\{q_i\}, \{r_j\}使得：

pij=qirj(∑qi=1,∑rj=1)p_{ij} = q_i r_j \quad (\sum q_i=1, \sum r_j=1)

3.2 检验统计量计算#

期望频数：

Eij=Xi+X+jnE_{ij} = \frac{X_{i+}X_{+j}}{n}

G统计量：

G=2∑i,jXijlog⁡(XijEij)G = 2 \sum_{i,j} X_{ij} \log\left(\frac{X_{ij}}{E_{ij}}\right)

自由度：

df=(I−1)(J−1)\text{df} = (I-1)(J-1)

示例：2×2列联表

若观测到：

[10203040]\begin{bmatrix} 10 & 20 \\ 30 & 40 \end{bmatrix}

则期望频数为：

[12182842]\begin{bmatrix} 12 & 18 \\ 28 & 42 \end{bmatrix}

计算每个单元格的 Xlog⁡(X/E)X\log(X/E)并求和。

四、正态分布案例：均值检验#

4.1 方差已知情况#

检验H0:μ=0H_0: \mu=0，已知σ\sigma

似然比统计量：

G=nXˉ2σ2∼χ12G = \frac{n\bar{X}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_1

4.2 方差未知情况#

需同时估计σ\sigma：

G=nlog⁡(∑i=1nXi2∑i=1n(Xi−Xˉ)2)G = n\log\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2} {\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2} \right)

其中备择假设下 σ^12=n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\hat{\sigma}_1^2=n^{-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2，故也可写成 G=nlog⁡(1+Xˉ2/σ^12)G=n\log(1+\bar X^2/\hat{\sigma}_1^2)。有限样本下通常使用单样本 t 检验。

五、学习要点总结#

  1. 模型嵌套关系：确认原假设模型是备择假设的特例

  2. 自由度计算：df = 大模型参数个数 - 小模型参数个数

  3. 软件实现：建议使用R的chisq.test()或Pythonscipy.stats.chisquare验证计算结果

关键公式回顾：

G=2∑观测值×log⁡(观测值期望值)G = 2\sum \text{观测值} \times \log\left(\frac{\text{观测值}}{\text{期望值}}\right)

常见误区：

  • 样本量过小时卡方近似不准确

  • 忽略单元格期望频数需大于5的实践准则

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