统计第5讲：区间估计 | Interval Estimation

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基础概念#

从点估计到区间估计#

设独立同分布随机变量$X_1,...,X_n$服从均值为$\mu$、方差为$\sigma^2$的分布：

• 样本均值 (Sample Mean)：

• 样本方差 (Sample Variance)：

• 标准误 (Standard Error, SE)：

点估计通过$\bar{x} \pm SE$给出估计范围，但无法量化置信程度。区间估计通过构建置信区间 (Confidence Interval) 解决这一缺陷。

核心思想#

置信区间满足：

其中：

• $L,U$为区间端点

• $1-\alpha$为置信水平 (Confidence Level)

• $\alpha$为显著性水平 (Significance Level)

正态分布下的置信区间#

标准正态分位数#

设$Z \sim N(0,1)$，定义上尾分位数 (Upper-tail Quantile) $z_p$满足：

特别地：

• $z_{0.5} = 0$（中位数）

• $Pr(-z_p \leq Z \leq z_p) = 1-2p$（对称区间概率）

置信区间构建#

当满足以下条件之一时：

1. 总体服从正态分布（任意样本量）

2. 大样本情况（中心极限定理适用）

95%置信区间公式：

具体推导：

常用分位数值#

实际应用案例#

股票收益率估计#

某股票30日收益率数据：

• 样本均值$\bar{x} = 0.8\%$

• 样本标准差$s = 2.5\%$

计算95%置信区间：

解读：有95%的置信度认为该股票的真实日均收益率在-0.094%到1.694%之间。

学习建议#

1. 重点掌握：

   • 置信区间的概率解释（不是参数落在区间的概率）

   • 标准误与标准差的区别

2. 典型错误：

   • 将"95%置信度"理解为"参数有95%概率在区间内"

   • 忽略样本量对区间宽度的影响

3. 实践练习：

# 使用正态近似计算总体均值的置信区间
import math
import random
import statistics

random.seed(42)
data = [random.gauss(mu=5, sigma=2) for _ in range(100)]
confidence = 0.95
sample_mean = statistics.fmean(data)
standard_error = statistics.stdev(data) / math.sqrt(len(data))
critical_value = statistics.NormalDist().inv_cdf(
    1 - (1 - confidence) / 2
)
margin_of_error = critical_value * standard_error
ci = (
    sample_mean - margin_of_error,
    sample_mean + margin_of_error,
)

print(f"样本均值：{sample_mean:.3f}")
print(f"{confidence:.0%} 置信区间：({ci[0]:.3f}, {ci[1]:.3f})")