统计第7讲：最大似然估计 | MLE · 练习

基础题答案#

1. 泊松分布参数估计#

$\hat{\lambda} = \bar{x} = \frac{3+5+2+7+4+6}{6} = 4.5$

2. 正态分布均值估计#

$\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = 1.01\%$

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提高题答案#

3. 伽马分布参数估计#

已知 $\alpha=3$，由MLE方程：

$\hat{\lambda} = \frac{\alpha}{\bar{x}} = \frac{3}{(2.1+3.4+1.8+2.9+2.5+3.1)/6} = \frac{3}{2.633} \approx 1.14$

4. 混合估计方法#

(1) MOM估计：

$\hat{\theta}_{MOM} = 2\bar{X}$

(2) MLE估计：

$\hat{\theta}{MLE} = X{(n)} = \max\{X_1,...,X_n\}$

(3) 有效性比较：

• $\hat{\theta}_{MLE}$ 是充分统计量

• $\hat{\theta}_{MOM}$ 方差较大

• MLE估计量更有效

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综合应用题答案#

5. 模型选择步骤#

1. 分别计算两个模型的对数似然值：

   • 对 $N(\mu,\sigma^2)$：$\ell_N = -\frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum(x_i-\mu)^2$

   • 对 $Laplace(\mu,b)$：$\ell_L = -n\log(2b) - \frac{1}{b}\sum|x_i-\mu|$

2. 估计各模型参数：

   • 正态：$\hat{\mu}=\bar{x}$, $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$

   • 拉普拉斯：$\hat{\mu}=median(x)$, $\hat{b}=\frac{1}{n}\sum|x_i-median(x)|$

3. 比较最终对数似然值：

   • 选择使 $\ell$ 更大的模型

   • 可通过AIC/BIC指标进一步验证