统计第2讲：概率进阶 | Probability (2) · 练习

1. MSE最小化#

解

(1) 最优预测值为$( c = E(Y) = 2 )$

(2)$( \min MSE = \text{var}(Y) = 4 )$

---

2. 条件期望计算#

解

计算条件期望：

• 当 ( X=1,3,5 )（奇数），$( E(Y|X) = X - 1 )$

• 当 ( X=2,4,6 )（偶数），$( E(Y|X) = X + 1 )$ 由双重期望公式：

  $E[E(Y|X)] = \frac{1}{6} \sum_{x=1}^6 E(Y|X=x) = \frac{1}{6}(0+3+2+5+4+7) = 3.5$

---

3. 正态分布概率#

解

标准化：

$P(48 \leq X \leq 55) = \Phi\left(\frac{55-50}{5}\right) - \Phi\left(\frac{48-50}{5}\right) = \Phi(1) - \Phi(-0.4) \approx 0.8413 - 0.3446 = 0.4967$

---

4. 独立正态变量的线性组合#

解

均值：

$E(Z) = 2E(X) - E(Y) + 5 = 2 \times 3 - 1 + 5 = 10$

方差：

$\text{var}(Z) = 2^2 \times \text{var}(X) + (-1)^2 \times \text{var}(Y) = 4 \times 4 + 1 \times 9 = 25$

---

5. 中心极限定理应用#

解

设 $( S_{400} )$ 为正面次数，近似 $( S_{400} \sim N(200, 100) )$

标准化：

$P(180 \leq S \leq 220) \approx \Phi\left(\frac{220.5-200}{10}\right) - \Phi\left(\frac{179.5-200}{10}\right) = \Phi(2.05) - \Phi(-2.05) \approx 0.9798 - 0.0202 = 0.9596$

（注：使用了连续性修正）