统计第4讲：估计（标准误、偏差、均方误差）| Estimation (SE, Bias, MSE) · 练习 · 量化课程

练习题#

从总体方差 $\sigma^2 = 16$ 的分布中抽取 $n=64$ 的样本：

给定样本数据：3, 7, 5, 9, 11

某温度计测量值为 $X_i = w + 0.3 + \epsilon_i$ ，其中 $\epsilon_i \sim N(0, 0.5^2)$

若用 $\bar{X}$ 估计真实温度 $w$ ：

已知某估计量 $\hat{\theta}$ 满足：

证明对任意估计量 $\hat{\theta}$ ：

$\text{MSE} = E[(\hat{\theta}-\theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})-\theta]^2$

某工厂零件长度真实均值为 $\mu=10\text{cm}$ ，测量系统存在偏差 $b=0.2\text{cm}$ ，测量方差 $\sigma^2=0.25$ ：

查看答案与解析

$\bar{x} = \frac{3+7+5+9+11}{5} = 7$
$s^2 = \frac{1}{4}[(3-7)^2 + (7-7)^2 + (5-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2] = \frac{44}{4} = 11$

$\text{Bias} = E(\bar{X}) - w = (w + 0.3) - w = 0.3$
$\text{MSE} = \frac{\sigma^2}{n} + b^2 = \frac{0.25}{50} + 0.09 = 0.005 + 0.09 = 0.095$

$\text{MSE} = \text{Var}(\hat{\theta}) + \text{Bias}^2 = 9 + 2^2 = 13$

\begin{aligned} E[(\hat{\theta}-\theta)^2] &= E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta} + E\hat{\theta}-\theta)^2] \ &= E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta})^2] + 2E[(\hat{\theta}-E\hat{\theta})(E\hat{\theta}-\theta)] + (E\hat{\theta}-\theta)^2 \ &= \text{Var}(\hat{\theta}) + 0 + \text{Bias}^2 \end{aligned}

$\frac{0.25}{n} + 0.04 \leq 0.05 \Rightarrow n \geq \frac{0.25}{0.01} = 25$

需要最小样本量 25