统计第9讲：假设检验 | Hypothesis Testing · 量化课程

一、基本概念#

假设检验是统计推断的核心工具，用于判断样本数据是否支持某个原假设 (Null Hypothesis, H₀)。典型设定：

\begin{cases} \text{Size} = \alpha = P_{H_0}(\text{Reject } H_0) \\ \text{Power} = 1-\beta = P_{H_1}(\text{Reject } H_0) \end{cases}

在 $H_0$ 下， $\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ ，标准化后：

Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)

给定显著性水平 $\alpha$ ，临界值 $c$ 满足：

P_{H_0}(\bar{X} > \mu_0 + c) = \alpha \Rightarrow c = z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

拒绝域： $(\mu_0 + z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty)$

例：某股票日收益率声称平均为 0.5%。随机抽取 25 个交易日数据得 $\bar{x}=0.8%$ ，已知 $\sigma=0.2%$ 。检验 $H_0: \mu=0.5%$ vs $H_1: \mu>0.5%$ （ $\alpha=0.05$ ）

计算：

$z = \frac{0.8-0.5}{0.2/\sqrt{25}} = 7.5,\quad z_{0.05}=1.645$ 由于 $7.5 > 1.645$ ，拒绝 $H\_0$ ，认为平均收益率显著高于 0.5%

临界值 $c$ 满足：

P_{H_0}(|\bar{X}-\mu_0| > c) = \alpha \Rightarrow c = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

拒绝域：

(-\infty, \mu_0 - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \cup (\mu_0 + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty)

例：检验某债券收益率是否偏离承诺的 5%（ $\alpha=0.05$ ）。样本量 $n=30$ , $\bar{x}=4.8%$ , $\sigma=0.5%$

计算：

$z = \frac{4.8-5}{0.5/\sqrt{30}} \approx -2.19,\quad |z|=2.19 > z_{0.025}=1.96$

拒绝 $H_0$ ，收益率显著偏离 5%

$(1-\alpha)$ 置信区间包含所有不能以显著性水平 $\alpha$ 拒绝的 $\mu_0$ 值：

\left[ \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\alpha}{\sqrt{n}} \right]

p 值是在 $H_0$ 成立时，观测到比样本结果更极端情况的概率：